Kurvlångd

För en liten kursegmentsbit, mellan $x$ och $x+\Delta x$ så har du att avståndet mellan $(x,f(x\left)\right)$ och $(x+\Delta x,f(x+\Delta x\left)\right)$ är $\Delta s=\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$ Förläng högra termen med $\Delta x^2$. $\Delta s = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}= \sqrt{(\Delta x)^2(1+\frac{(\Delta y)^2}{(\Delta x)^2})}=\Delta x\sqrt{1+(\frac{\Delta y}{\Delta x})^2}$. Känner du igen sista delen? Vad händer om du låter $\Delta x$ gå mot noll, och summerar över hela kurvan?

Okej tack, men hur går man från dy ^2 till 1+dy/dx?

Ffkjfjebej skrev:

Okej tack, men hur går man från dy ^2 till 1+dy/dx?

Varför vill du ha 1+dy/dx?

Menar du hur du går från $\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ till $\sqrt{(\Delta x)^2(1+(\frac{(\Delta y}{\Delta x})^2)}$? Man bryter ut $x^2$ ur båda termerna.

Okej. Men hur går man från dx^2+dy^2 till dx^2+ 1 + dy^2/dx^2

Ffkjfjebej skrev:

Okej. Men hur går man från dx^2+dy^2 till dx^2+ 1 + dy^2/dx^2

Det som står under rottecknet längre upp är dx^2 gånger (1 + dy^2/dx^2), inte plus.