Kurvintegraler över vektorfält

När integranden i en linjeintegral presenteras som en differentialform med basen $d\mathbf{r}=(dx,dy,dz)$ kan man alltid skriva om det som skalärprodukten av ett vektorfält och baselementen $(dx,dy,dx)$. I ditt fall är integranden alltså

$\displaystyle \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\left(2x\sin(\pi y)-e^z, \pi x^2\cos(\pi y)\underline{\underline{-3e^z}}, -xe^z\right)\cdot\left (dx,dy,dz\right)$

För att förenkla linjeintegraler har ni lärt er ett trick; integralen blir enklare att beräkna om man kan teckna fältet som gradienten av ett skalär funktion (en potentialfunktion).

När vi studerar vår integrand ser vi att vi nästan har ett fält som består av $\nabla \left(x^2\sin(\pi y)-xe^z \right)$, men vi har en felande term i $\hat{y}$-led, nämligen $-3e^z$. Vi sammanfattar det så här

$\displaystyle \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\nabla \left(x^2\sin(\pi y)-xe^z \right) \cdot \left (dx,dy,dz\right) -3e^z dy$

D4NIEL skrev:

När integranden i en linjeintegral presenteras som en differentialform med basen $d\mathbf{r}=(dx,dy,dz)$ kan man alltid skriva om det som skalärprodukten av ett vektorfält och baselementen $(dx,dy,dx)$. I ditt fall är integranden alltså

$\displaystyle \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\left(2x\sin(\pi y)-e^z, \pi x^2\cos(\pi y)\underline{\underline{-3e^z}}, -xe^z\right)\cdot\left (dx,dy,dz\right)$

För att förenkla linjeintegraler har ni lärt er ett trick; integralen blir enklare att beräkna om man kan teckna fältet som gradienten av ett skalär funktion (en potentialfunktion).

När vi studerar vår integrand ser vi att vi nästan har ett fält som består av $\nabla \left(x^2\sin(\pi y)-xe^z \right)$, men vi har en felande term i $\hat{y}$-led, nämligen $-3e^z$. Vi sammanfattar det så här

$\displaystyle \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\nabla \left(x^2\sin(\pi y)-xe^z \right) \cdot \left (dx,dy,dz\right) -3e^z dy$

Hur ser man att potentialfunktionen blir som du skrev??

Jag gjorde såhär. Försökte ta integralen av varje komponen i F för att få fram potetialfunktionen men det är fel

När du räknat ett antal uppgifter med gradienter och skalära fält kommer du genom erfarenhet få en känsla som genast låter dig se vilken potentialfunktion som gäller. Men tills du fått erfarenhet kan du göra så här:

Vi börjar med det som ser enklast ut, nämligen z-komponenten av fältet.

$\frac{\partial \varphi(x,y,z)}{\partial z}=-xe^z$

$\varphi(x,y,z)=-xe^z+f(x,y)$

Sedan studerar vi x-led

$\frac{\partial \varphi(x,y,z)}{\partial x}=2x\sin(\pi y)-e^z$

$\varphi(x,y,z)=x^2\sin(\pi y)-xe^z+g(y,z)$

Redan nu kan vi dra slutsatsen att funktionen $\varphi(x,y,z)$, om den existerar, måste uppfylla båda ekvationerna samtidigt, dvs

$x^2\sin(\pi y)-xe^z+g(y,z)=-xe^z+f(x,y)$

Sätter vi $f(x,y)=x^2\sin(\pi y)$ får vi tills vidare

$\varphi(x,y,z)=x^2\sin(\pi y)-xe^z$

Vilket nästan uppfyller våra villkor. Men det finns som sagt en felande term i y-led, så vi måste dela upp fältet i två delar om vi vill räkna med en potential.

Notera att du INTE kan få en perfekt potential från fältet i det här fallet, fältet måste delas upp.