Vektoranalys: Stokes sats

Jag behöver hjälp med att förstå vilka vägbyten som är tillåtna för kurvintegraler som den ovan. Rotationen av vektorfältet $c u r l (u) = (x, - y, 0)$ och vi ser att $u = (0, 0, x y) + \nabla \frac{x y}{z}$ . Eftersom kurvan är sluten kommer delintegralen med $\nabla \frac{x y}{z}$ att bli noll. När jag sedan beräknar kurvintegralen utan att använda Stokes sats får jag rätt svar, $\frac{π}{2}$ .

Problemet är att i facit står det att man kan använda Stokes sats för att byta väg till kurvan $(\cos (t), \sin (t), 1)$ . Hur kan man se att vi får göra det utifrån Stokes sats? Är ett tillräckligt villkor att z-komponenten i $c u r l (u)$ är noll? Blir inte integralen över enhetsdisken vid z = 1 lika med noll eftersom $N = \pm (0, 0, 1)$ ?

Du kan tex göra om kurvintegralen till en ytintegral (mha Stokes) där cirkelskivan kan ses som en botten på en slags skål. Integralen över skivan blir noll så det återstår integralen över resten av skålen, dvs sidoväggarna. Tänk på normalriktningen.

PATENTERAMERA skrev:
Du kan tex göra om kurvintegralen till en ytintegral (mha Stokes) där cirkelskivan kan ses som en botten på en slags skål. Integralen över skivan blir noll så det återstår integralen över resten av skålen, dvs sidoväggarna. Tänk på normalriktningen.

Tack! Bottenplattan behövs väl inte alls? Så länge kurvorna stänger inne en yta så gäller Stokes sats. Jag får en lite tråkig integral men rätt svar med denna parametrisering:
$Ψ (r, t) = (\cos (t), \sin (t), 1 + r \sin^{2} (t)) r \in [0, 1] t \in [0, 2 π]$

Ja, det ser ut att vara rätt tänkt.

Svara

Visa senaste svar