Kurvintegraler

Du har x= costsint  och y=sint   $\Rightarrow dy=\cos t\times dt$

$$\begin{gathered} \Rightarrow xdy=\cos t\sin t\cos tdt={\cos }^{2}t\sin tdt \\ {\int }_{\gamma }xdy={\int }_0^{\mathrm{\pi }}{\cos }^{2}t\sin tdt \end{gathered}$$

Kommer du vidare?

Använd Greens formel eller Stokes sats med fältet F=(0,x) för att beräkna arean. Notera att du förhoppningsvis redan beräknat just den kurvintegralen under första delmomentet.

Mohammad Abdalla skrev:

Du har x= costsint  och y=sint   $\Rightarrow dy=\cos t\times dt$

$$\begin{gathered} \Rightarrow xdy=\cos t\sin t\cos tdt={\cos }^{2}t\sin tdt \\ {\int }_{\gamma }xdy={\int }_0^{\mathrm{\pi }}{\cos }^{2}t\sin tdt \end{gathered}$$

Kommer du vidare?

hur kommer du fram till att du ska ta fram dy och sen ta xdy? eller är det greens formel? 

D4NIEL skrev:

Använd Greens formel eller Stokes sats med fältet F=(0,x) för att beräkna arean. Notera att du förhoppningsvis redan beräknat just den kurvintegralen under första delmomentet.

jag har ju inte ens kommit dit, därför jag undrade hur man kommer fram till hur området ser ut och hur man sedan går vidare....

Området kan du ta fram genom att plotta några punkter $(x,y) =\left(\sin(t)\cos(t), \sin(t)\right)$ för olika värden på $t$. Använd t.ex. $t=0,\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{6},\frac{3\pi}{6},\frac{4\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$. Bind sedan samman punkterna med en vacker kurva.

Slå upp hur man beräknar en kurvintegral i din lärobok / föreläsningsanteckningar. Olika böcker har olika notation, men grundprincipen är naturligtvis alltid densamma.

Kanske har du något i stil med

$\displaystyle \int_\gamma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ eller $\displaystyle \int_\gamma \, P\,dx+Q\,dy$

I ditt fall är alltså $\mathbf{r}(t)$ en känd parametrisering av kurvan, där $x(t)=\sin(t)\cos(t)$ och $y(t)=\sin(t)$. Man kan också skriva

$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\mathbf{F}\left(\mathbf{r}(t)\right)\cdot \mathbf{r}^\prime\left(t\right)\,dt=\int_{\alpha}^{\beta}\left[P\left(x(t),y(t)\right)x^\prime(t)+Q\left(x(t),y(t)\right)y^\prime(t)\right]\,dt$.

Använder man den formen ger frågans integral $\int_\gamma x\,dy$ helt enkelt $P=0$ och $Q=x(t)=\sin(t)\cos(t)$.

Gör ett försök att lösa kurvintegralen på det sätt ni fått lära er och visa dina försök så blir det lättare för oss att förstå på vilken form du vill ha integralen och vad det är du fastnar på. Jag vet att det kan verka krångligt första gången man stöter på kurvintegraler, men det blir lättare redan efter några tal!

D4NIEL skrev:

Området kan du ta fram genom att plotta några punkter $(x,y) =\left(\sin(t)\cos(t), \sin(t)\right)$ för olika värden på $t$. Använd t.ex. $t=0,\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{6},\frac{3\pi}{6},\frac{4\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$. Bind sedan samman punkterna med en vacker kurva.

Slå upp hur man beräknar en kurvintegral i din lärobok / föreläsningsanteckningar. Olika böcker har olika notation, men grundprincipen är naturligtvis alltid densamma.

Kanske har du något i stil med

$\displaystyle \int_\gamma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ eller $\displaystyle \int_\gamma \, P\,dx+Q\,dy$

I ditt fall är alltså $\mathbf{r}(t)$ en känd parametrisering av kurvan, där $x(t)=\sin(t)\cos(t)$ och $y(t)=\sin(t)$. Man kan också skriva

$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\mathbf{F}\left(\mathbf{r}(t)\right)\cdot \mathbf{r}^\prime\left(t\right)\,dt=\int_{\alpha}^{\beta}\left[P\left(x(t),y(t)\right)x^\prime(t)+Q\left(x(t),y(t)\right)y^\prime(t)\right]\,dt$.

Använder man den formen ger frågans integral $\int_\gamma x\,dy$ helt enkelt $P=0$ och $Q=x(t)=\sin(t)\cos(t)$.

Gör ett försök att lösa kurvintegralen på det sätt ni fått lära er och visa dina försök så blir det lättare för oss att förstå på vilken form du vill ha integralen och vad det är du fastnar på. Jag vet att det kan verka krångligt första gången man stöter på kurvintegraler, men det blir lättare redan efter några tal!

vi använder ${\int }_{\gamma }Pdx+Qdy=\int {\int }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}) dxdy$. Och då får jag ju dubbelintregral av en 1a endast. och vet inte riktigt hur jag ska gå vidare därifrån. Alltså om jag använder greens vill säga. 

Att integrera 1 dxdy över ett område i xy-planet ger arean av området. Så arean är alltså samma värde som kurvintegralen som du redan löst. 

jamolettin skrev:

Att integrera 1 dxdy över ett område i xy-planet ger arean av området. Så arean är alltså samma värde som kurvintegralen som du redan löst. 

ja, det är jag med på. men hur integrerar jag bara en 1 i detta fallet? kan ju göra ett byte till det bytet de angav i uppgiften, men förstår inte vad funktionaldeterminanten blir. 

Du behöver inte lösa den integralen. Du vet ju tack vare Green's att du kan beräkna den ursprungliga kurvintegralen istället. 

jamolettin skrev:

Du behöver inte lösa den integralen. Du vet ju tack vare Green's att du kan beräkna den ursprungliga kurvintegralen istället. 

hur då?

Se inlägg #2

jamolettin skrev:

Se inlägg #2

men om man hade velat räkna ut den med greens, hur hade man gjort då? 

Jag skulle säga att lösa den med Green är just att inte behöva lösa dubbelintegralen. Men om du absolut vill  lösa dubbelintegralen i ditt tidigare inlägg #7 så blir det otrevligt. Det blir ju riktigt grisigt att hitta gränserna för området D