Kurvintegralen

Jag har väldigt vaga minnen av Green's formel så jag vågar mig inte på att kommentera hur du har tillämpat den. Efter att ha googlat lite så handlar det om att man gör om en kurvintegral till en dubbelintegral men då verkar det som att man ska ha ett slutet område. Det har du skaffat dig genom att dra linjen men då har du samtidigt förlängt kurvan som det frågas efter. Det måste du korrigera för, och då kommer det tillbaka lite svaga minnen. Lös dubbelintegralen och beräkna sen kurvintegralen längs den räta linjen och subtrahera det från dubbelintegralen. Är det det som du har missat?

Dina partiella derivator har blivit fel. Jag får det till:

$\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{4xy}{(x^2+y^2)^2}$

(Beräkning)

$\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{4xy}{(x^2+y^2)^2}$

(Beräkning)

Innan du tillämpar Greens formel måste du dock ta reda på om det finns några diskontinuiteter på området. Finns det?

AlvinB skrev:

Dina partiella derivator har blivit fel. Jag får det till:

$\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{4xy}{(x^2+y^2)^2}$

(Beräkning)

$\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{4xy}{(x^2+y^2)^2}$

(Beräkning)

Innan du tillämpar Greens formel måste du dock ta reda på om det finns några diskontinuiteter på området. Finns det?

det är ju punkten (0,0) men vi befinner ju oss bara emellan (1,1) och (3,3) så jag bör ju kunna tillämpa Green då?

Vad händer i exempelvis punkten $(0,2)$? Kan du beräkna fältets värde där?

Kurvintegralen är

    $\displaystyle\oint_{\gamma} P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy$

där $P(x,y)=\frac{y^2-x^2}{x(y^2+x^2)}$ och $Q(x,y)=\frac{x^2-y^2}{y(x^2+y^2)}$ förutsatt att $(x,y)$ håller sig borta från koordinataxlarna (där $x=0$ eller där $y=0$). Nu är det tyvärr så att kurvan $\gamma$ innehåller två punkter som ligger på x-axeln och dessa måste uteslutas på lämpligt sätt om man ska beräkna kurvintegralen med hjälp av Greens teorem så som du tänkt dig. 

AlvinB skrev:

Dina partiella derivator har blivit fel. Jag får det till:

$\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{4xy}{(x^2+y^2)^2}$

(Beräkning)

$\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{4xy}{(x^2+y^2)^2}$

(Beräkning)

Innan du tillämpar Greens formel måste du dock ta reda på om det finns några diskontinuiteter på området. Finns det?

Som i den förra tråden, hur gjorde du med parenteserna där? i frågan, multiplicerar du inte dom som 

(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd ?

Jag multiplicerar ut differentialerna enligt följande:

$\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}(-\dfrac{dx}{x}+\dfrac{dy}{y})=-\dfrac{x^2-y^2}{x(x^2+y^2)}\ dx+\dfrac{x^2-y^2}{y(x^2+y^2)}\ dy$

Vi får alltså att:

$P\left(x,y\right)=-\dfrac{x^2-y^2}{x(x^2+y^2)}$

och

$Q\left(x,y\right)=\dfrac{x^2-y^2}{y(x^2+y^2)}$

AlvinB skrev:

Jag multiplicerar ut differentialerna enligt följande:

$\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}(-\dfrac{dx}{x}+\dfrac{dy}{y})=-\dfrac{x^2-y^2}{x(x^2+y^2)}\ dx+\dfrac{x^2-y^2}{y(x^2+y^2)}\ dy$

Vi får alltså att:

$P\left(x,y\right)=-\dfrac{x^2-y^2}{x(x^2+y^2)}$

och

$Q\left(x,y\right)=\dfrac{x^2-y^2}{y(x^2+y^2)}$

Aha okej, då är jag med. Och såldes blir deras derivator lika. 

Sen så integrerar jag differential ekvationerna;  (som är från ursprungsekvationen):

$\frac{dU}{dx} = \frac{-1}{x} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$

$\frac{dU}{dx} = \frac{1}{y} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$

Och så integrerar vi dom???? 

$\int\frac{dU}{dx} = \int \frac{-1}{x} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} dx$ eller? 

Ja, om vi vill beräkna kurvintegralen som en potentialskillnad behöver vi ta fram en potentialfunktion $U(x,y)$.

Vi kan få ett uttryck för $U(x,y)$ genom att integrera derivatan med avseende på $x$:

$\displaystyle U\left(x,y\right)=\int\frac{\partial U}{\partial x}\ dx=\int -\frac{x^2-y^2}{x(x^2+y^2)}\ dx$

(integreras förslagsvis genom partialbråksuppdelning)

vi får då ett uttryck för $U(x,y)$ som innehåller en okänd funktion $\varphi(y)$ enbart beroende av $y$. Man kan sedan derivera uttrycket för $U(x,y)$ med avseende på $y$ och jämföra med $y$-komponenten i fältet och således ta reda på vad $\varphi'(y)$ och även $\varphi(y)$.

När vi väl tagit fram $U(x,y)$ kan integralen beräknas genom:

$\displaystyle\int_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=U\left(\mathbf{b}\right)-U\left(\mathbf{a}\right)$

där $\mathbf{a}$ och $\mathbf{b}$ är kurvans ändpunkter.

Är inte ett av kraven i definitionen av kurvintegralen att vektorfältet är kontinuerligt i en mängd som omsluter de kurvor man är intresserad av? I detta fall åker ju partikeln rakt genom diskontinuiteter. Kan man verkligen ignorera dessa och hitta en potential som inte ens är definierad längs kurvan?

parveln skrev:

Är inte ett av kraven i definitionen av kurvintegralen att vektorfältet är kontinuerligt i en mängd som omsluter de kurvor man är intresserad av? I detta fall åker ju partikeln rakt genom diskontinuiteter. Kan man verkligen ignorera dessa och hitta en potential som inte ens är definierad längs kurvan?

Vet inte? jag tänker väl mer eftersom att vi har punkterna (1,1) och (3,3) och därför kan man det? :S

AlvinB skrev:

Ja, om vi vill beräkna kurvintegralen som en potentialskillnad behöver vi ta fram en potentialfunktion $U(x,y)$.

Vi kan få ett uttryck för $U(x,y)$ genom att integrera derivatan med avseende på $x$:

$\displaystyle U\left(x,y\right)=\int\frac{\partial U}{\partial x}\ dx=\int -\frac{x^2-y^2}{x(x^2+y^2)}\ dx$

(integreras förslagsvis genom partialbråksuppdelning)

vi får då ett uttryck för $U(x,y)$ som innehåller en okänd funktion $\varphi(y)$ enbart beroende av $y$. Man kan sedan derivera uttrycket för $U(x,y)$ med avseende på $y$ och jämföra med $y$-komponenten i fältet och således ta reda på vad $\varphi'(y)$ och även $\varphi(y)$.

När vi väl tagit fram $U(x,y)$ kan integralen beräknas genom:

$\displaystyle\int_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=U\left(\mathbf{b}\right)-U\left(\mathbf{a}\right)$

där $\mathbf{a}$ och $\mathbf{b}$ är kurvans ändpunkter.

Snyggt!

U(3,3)-U(1,1) alltså

Jag såg ditt facit till denna uppgift i den andra tråden och tänkte att den gick att lösa utan vidare, men som parveln påpekar (och nu ser jag att det nog var dit jag och Albiki var på väg tidigare i tråden) korsar ju kurvan koordinataxlarna, där fältet är diskontinuerligt! Vi har ju $x$ och $y$ som faktorer i nämnarna, och dessa gör att fältet blir odefinierat så fort vi är på koordinataxlarna (då är ju $x=0$ eller $y=0$).

Jag får intrycket att hela uppgiften är felkonstruerad och att man helt enkelt missat att fältet inte är kontinuerligt på koordinataxlarna, särskilt eftersom man inte nämner det i facit utan räknar på helt som vanligt.

Hade vi inte haft diskontinuiteter på kurvan hade vi kunnat beräkna kurvintegralen med $U(3,3)-U(1,1)$, men i och med dessa diskontinuiteter tror jag till och med att kurvintegralens värde divergerar.

AlvinB skrev:

Jag såg ditt facit till denna uppgift i den andra tråden och tänkte att den gick att lösa utan vidare, men som parveln påpekar (och nu ser jag att det nog var dit jag och Albiki var på väg tidigare i tråden) korsar ju kurvan koordinataxlarna, där fältet är diskontinuerligt! Vi har ju $x$ och $y$ som faktorer i nämnarna, och dessa gör att fältet blir odefinierat så fort vi är på koordinataxlarna (då är ju $x=0$ eller $y=0$).

Jag får intrycket att hela uppgiften är felkonstruerad och att man helt enkelt missat att fältet inte är kontinuerligt på koordinataxlarna, särskilt eftersom man inte nämner det i facit utan räknar på helt som vanligt.

Hade vi inte haft diskontinuiteter på kurvan hade vi kunnat beräkna kurvintegralen med $U(3,3)-U(1,1)$, men i och med dessa diskontinuiteter tror jag till och med att kurvintegralens värde divergerar.

Aha okej, jag tänkte mer att det gick och lösa ändå, för vi kollade "bara" på intervallet (1,1) till (3,3) 

Det stora problemet är att punkter på kurvan är diskontinuiteter. Det är allmänt någonting vi inte vill ha.

Hade kurvan inte skurit koordinataxlarna skulle det inte vara några problem.

AlvinB skrev:

Det stora problemet är att punkter på kurvan är diskontinuiteter. Det är allmänt någonting vi inte vill ha.

Hade kurvan inte skurit koordinataxlarna skulle det inte vara några problem.

Aha ok.. Men då är den här problemet helt hopplöst, så svaret är typ "nej går ej och lösa pga diskontiniteter" ?

Ja, det verkar ju inte bättre än så.

Jag tror helt enkelt att uppgiftskonstruktören missat något.