Kurvintegral - sluten kurva

Jag försöker lösa en tentauppgift där man har en kurvintegral enligt följande.

Jag började med att dela upp den till $\int_{γ} \frac{x d x + y d y}{x^{2} + y^{2}} + \int_{γ} \frac{- 2 (y d x - x d y)}{x^{2} + y^{2}}$

Räknade ut att den första blev 0 överallt där den är definerad. Den andra tyckte jag var klurigare. Kunde få fram att om jag låter gamma omsluta origo så är integralen 4pi. Enligt lösningsförslaget är den 0 om man inte omsluter origo, men jag kan inte komma på ett bra sätt att räkna ut det när gamma måste vara en kontinuerligt deriverbar funktion. Försökte först sätta x = 1 + rcos(v), y = rsin(v) men blev väldigt krångligt.

Här är lösningsförslaget:

Den "andra" differentialformen, låt oss kalla den $d\omega$ , är naturligtvis också exakt (utanför origo), med t.ex. $\omega=2\arctan(y/x)$ .

Av Poincarés lemma följer att $d(d\omega)=0$ , dvs differentialformen $d\omega$ är sluten.

Fältet är ett potentialfält och varje sluten linjeintegral är därmed 0 (så länge vi använder ett öppet område som inte innefattar origo).

Om du vill "bevisa" det kan du använda Greens formel (eller generaliserad Stokes sats) på den andra differentialformen (eller för all del, på hela integralen)

$\displaystyle \int_{\partial_D} P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\int_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Där $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0$ (visa det!)

Svara