Kurvintegral och Greens formel

Börja med att parametrisera kurvan. Ett tips är att använda sfäriska koordinater.

Hej!

För att du ska få lov att använda Greens teorem

    $\displaystyle\oint_{\partial D} P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy = \iint_{D}\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\,dxdy$

måste vissa villkor vara uppfyllda.

• Kurvan $\partial D$ ska vara positivt orienterad, enkel, sluten och styckvis glatt.
• Kurvan $\partial D$ omsluter ett område ($D$) som ska ligga helt inne i en öppen mängd ($M$).
• Funktionerna $P$ och $Q$ är definierade överallt i den öppna mängden $M$.
• Funktionerna $P$ och $Q$ har kontinuerliga partiella derivator överallt i den öppna mängden $M$.

Ellipsen $\gamma$ är positivt orienterad (det står i texten), enkel, sluten och glatt.

Funktionerna

    $P(x,y) = \frac{-\sin y}{x^2+\sin^2 y}$ och $Q(x,y)=\frac{x\cos y}{x^2+\sin^2 y}$

är definierade i hela planet $\mathbb{R}^2$ utom i punkterna $(x,y)$ där nämnarna

    $x^2+\sin^2y=0 \iff x=0 \text{ och } y=\pi n \ , \quad n\in\mathbb{Z}$.

Av dessa förbjudna punkter ligger $(0,0)$ inuti ellipsskivan; därför måste den förbjudna punkten uteslutas från området $D$ i Greens formel. För att göra detta omsluter man den förbjudna punkten med en positivt orienterad  kurva $c_{1}$ som definieras av ekvationen $x^2+\sin^2 y = 1$ (vilket gör det enkelt att beräkna kurvintegralen längs $c_1$) och det tillåtna området $D$ ligger mellan ellipsen $\gamma$ och kurvan $c_{1}$. Områdets rand

    $\partial D = \gamma \cup -c_{1}$

där $-c_1$ är den negativt  orienterade kurvan $c_1$; anledningen till att man använder $-c_1$ vid beskrivning av randen är för att $\partial D$ ska vara positivt orienterad.

Greens teorem ger

    $\displaystyle\oint_\gamma - \oint_{c_1} = \iint_{D} \iff \oint_\gamma = \oint_{c_1} + \iint_{D}$

så du behöver beräkna dubbelintegralen och kurvintegralen längs den lilla cirkeln för att få det sökta resultatet.

De partiella derivatorna är

    $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\cos y(x^2+\sin^2y) - 2x^2\cos y}{n^2(x,y)}=\frac{-x^2\cos y+\sin^2y\cos y}{n^2(x,y)}$ och $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{-\cos y (x^2+\sin^2y)+\sin y 2\sin y\cos y}{n^2(x,y)} = \frac{-x^2\cos y + \sin^2y\cos y}{n^2(x,y)}$

vilket ger differensen $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$ så dubbelintegralen blir noll!

    $\displaystyle\iint_{D} = 0\implies \oint_{\gamma} = \oint_{c_1}.$

Kurvintegralen längs kurvan $c_1 : x^2+\sin^2 y = 1$ beräknas genom att parametrisera kurvan.

    $\displaystyle\oint_{c_1} P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy = \int_{t=0}^{2\pi}P(x(t),y(t)) x'(t) + Q(x(t),y(t))y'(t)\,dt$

Välj parametriseringen

    $y(t)=t$ och $x(t)=\cos t$ där $0\leq t \leq 2\pi$

vilket ger

    $x'(t) = -\sin t$ och $y'(t) = 1$

så att kurvintegralen längs $c_1$ blir

    $\displaystyle\oint_{c_1}P\,dx+Q\,dy = \int_{t=0}^{2\pi} 1\,dt = 2\pi$

och den sökta kurvintegralen längs ellipsen $\gamma$ blir också lika med $2\pi$.

    $\displaystyle\oint_{\gamma}P\,dx+Q\,dy = 2\pi.$

Tack för all vägledning och villkoren. Ledsen för det sena svaret. Det var mer än snällt att ni t.o.m. löste uppgiften åt mig. Nu innehåller detta lösningsförsla säkerligen en massa feltolkningar och felaktiga formuleringar trots rätt svar. Tack för att ni investerat er tid åt att hjälpa till.