Kurvintegral med jobbig kurva, greens formel?

Vad jag förstår så har du ingen vektorvärd funktion i detta problem och därmed tror kan du inte använda Greens-formel. Vad är det du satt som $\stackrel{\rightharpoonup }{F}(x,y) = (P, Q)$ ?

Det går bra med Greens formel, men då måste man stänga till kurvan med gamma2 enligt bilden. Integralen längs gamma2 är dock enkel.

Ytintegralen man får verkar vid en första anblick dock rätt knepig, men jag har nog missat något.

Hej!

Eftersom kurvan $\partial D = \gamma \cup \gamma_{2}$ är en positivt orienterad, styckvis glatt och enkelt sluten kurva, och funktionerna $P$ och $Q$ är definierade på en öppen mängd (hela planet $\mathbf{R}^2$) som innehåller området ($D$) som begränsas av kurvan $\partial D$, och funktionerna har kontinuerliga partiella derivator på detta område, kan du enligt Greens teorem skriva

    $\oint_{\gamma} P\text{d}x + Q\text{d}y +\oint_{\gamma_{2}} P\text{d}x + Q\text{d}y =\iint_{D}\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\text{d}x\text{d}y\ ,$

där $P(x,y) = 3x^3+xy+x$ och $Q(x,y) = y\ .$

Kurvan $\gamma_{2}$ är lika med mängden

    $\gamma_{2}=\{(x,y):x = 0 \text{ och } -2\leq y \leq 2\}$

vilket betyder att kurvintegralen längs denna kurva är

    $\oint_{\gamma_{2}} P\text{d}x + Q\text{d}y = \int_{-2}^{2}Q(0,y)\text{d}y = \int_{-2}^{2}y\text{d}y = 0.$

Eftersom de partiella derivatorna är sådana att

    $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0-x$

så kan den sökta kurvintegralen skrivas

    $\oint_{\gamma} P\text{d}x + Q\text{d}y = -\iint_{D}x\text{d}x\text{d}y\ .$

För att beräkna dubbelintegralen kan du prova att införa variabelbytet

    $\xi = x$ och $\eta = y+3x^2$ där $x > 0$. 

Området $D$ transformeras då till en halv cirkelskiva

    $D' = \{(\xi,\eta) : \xi^2 + \eta^2 \leq 4 \text{ och } \xi > 0\}$

och differentialareaelementet $\text{d}x\text{d}y$ transformeras till $\text{d}\xi\text{d}\eta\ ,$  vilket resulterar i dubbelintegralen

    $-\iint_{D}x\text{d}x\text{d}y = -\iint_{D'}\xi \text{d}\xi\text{d}\eta\ .$

Inför planpolära koordinater

    $\xi = r\cos \theta$ och $\eta = r\sin \theta$

som transformerar området $D'$ till en rektangel

    $R = \{(r,\theta) : r\in[0,2] \text{ och } \theta \in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\}$

så att dubbelintegralen kan skrivas som två itererade enkelintegraler.

    $-\iint_{D'}\xi \text{d}\xi\text{d}\eta = -\iint_{R}r^2\cos\theta \text{d}r\text{d}\theta = -\{\int_{r=0}^{2}r^2\text{d}r\}\{\int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos \theta \text{d}\theta\} = -\frac{16}{3}\ .$

Den sökta kurvintegralen är tydligen lika med

    $\oint_{\gamma} P\text{d}x + Q\text{d}y = -\frac{16}{3}\ .$

Albiki