Kurvintegral: hur parametrisera?

Hej!

Jag sitter lite fast på uppgift c. Jag försökte lösa den m.h.a. parametrisering och "klassisk kurvintegral" (inte Greens sats som i facit, eftersom vi inte lärt oss det än)

Jag har löst en liknande uppgift i veckan, där man kunde uttnytja att kvoten var konstant på kurvan, men här har vi ju inte samma ekvation som ellipsen i nämnaren, så jag lyckas inte få det till något rimligt.

Jag förstår för det första inte hur kurvan kan parametriseras som en cirkel med radien 2. Om jag ritar upp den får jag en ellips med halvaxlarna 6 och 2.

Jag parametriserade den som:

$x=6cost, y=2sint, -\pi\leq t\leq 0$ , men detta leder mig till ett knepigt uttryck att integrera över:

$\frac{3}{9cos^2(t)+sin^2(t)}$
tänker jag fel i min parametrisering?

Din parametrisering ser nästan ok ut, men vi ska vara i den andra och tredje kvadranten samt gå medurs, x<0, alltså ska $t$ löpa från $3\pi/2$ till $\pi/2$ .

Det är mycket riktigt tänkt att du ska känna att uttrycket är knepigt att integrera över. Tanken är att det ska vara så svårt att du föredrar att använda Greens formel.

Greens formel låter dig på ett bekvämt sätt räkna på cirkelbågen istället för den hemska ellipsen. Du har ju redan i uppgift a visat att $\mathrm{curl}\mathbf{F}=0$ vilket gör integralerna särskilt enkla om du väljer att sluta området med någon kurva som inte innefattar origo. Jag tänker att du ska låta den här uppgiften vila tills du lärt dig Stokes sats / Greens formel om du inte vill ha lite extra träning på jobbiga integraler.

Du kan också använda potentialteori, men se upp med singulariteten i origo.

D4NIEL skrev:
Din parametrisering ser nästan ok ut, men vi ska vara i den andra och tredje kvadranten samt gå medurs, x<0, alltså ska $t$ löpa från $3\pi/2$ till $\pi/2$ .

Det är mycket riktigt tänkt att du ska känna att uttrycket är knepigt att integrera över. Tanken är att det ska vara så svårt att du föredrar att använda Greens formel.

Greens formel låter dig på ett bekvämt sätt räkna på cirkelbågen istället för den hemska ellipsen. Du har ju redan i uppgift a visat att $\mathrm{curl}\mathbf{F}=0$ vilket gör integralerna särskilt enkla om du väljer att sluta området med någon kurva som inte innefattar origo. Jag tänker att du ska låta den här uppgiften vila tills du lärt dig Stokes sats / Greens formel om du inte vill ha lite extra träning på jobbiga integraler.

Du kan också använda potentialteori, men se upp med singulariteten i origo.

Okej, skönt att veta att jag lär mig hur man löser detta på lättare sätt inom några veckor då! Jag tänkte negativa y i min parametrisering, det var slarv från min sida bara. Tack för input, då sparar jag denna uppgift för stunden!

Ett alternativ är polära koordinater. Då blir nämligen F•dr = d(fi). Integralen blir då skillnaden i vinkel mellan slut- och startpunkt, vilket är pi/2 - 3pi/2= -pi.

Svara

Visa senaste svar