Kurvintegral, greens formel (Flervariabelanalys)

Ser bra ut så långt. Du kan dela upp integralen i två så kan du tänka på en i taget:

$\displaystyle\iint r\arctan\left(r^2\right) dr d\phi + \iint \dfrac{2r^3}{1+r^4}\dfrac{1+\cos\left(2\phi\right)}{2} dr d\phi$

arctan-integralen kan angripas med partialintegration.

Skaft skrev:

Ser bra ut så långt. Du kan dela upp integralen i två så kan du tänka på en i taget:

$\displaystyle\iint r\arctan\left(r^2\right) dr d\phi + \iint \dfrac{2r^3}{1+r^4}\dfrac{1+\cos\left(2\phi\right)}{2} dr d\phi$

arctan-integralen kan angripas med partialintegration.

Tack!

För den första integralen:

$2\pi \int_0^1r \tan^{-1}(r^2)dr$,

så underlättar det med variabelsubstitutionen $u=r^2$ och $du=2rdr$. Detta ger:

$\pi \int_0^1 \tan^{-1}(u)du$.

För integranden som innehåller uttrycket $2r^3/(1+r^4)$ så kan du på liknande sätt pröva variabelsubstitution $u=1+r^4$ vilket ger $du=4r^3dr$.