Kurvintegral, flervariabelanalys

Du får bara använda Greens formel ifall kurvan är sluten. Din kurva är inte sluten, men däremot kan du lägga till en kurva så att den blir det. Har du gjort det?

Jag rekommenderar att du ritar upp området om du inte redan gjort det.

Ja, jo men den kurvan som jag lägger till blir 0

Jag har ritat upp det i desmos

AlvinB skrev:

Du får bara använda Greens formel ifall kurvan är sluten. Din kurva är inte sluten, men däremot kan du lägga till en kurva så att den blir det. Har du gjort det?

Jag rekommenderar att du ritar upp området om du inte redan gjort det.

Ja, jo men den kurvan som jag lägger till blir 0

Jag har ritat upp det i desmos

Välkommentill Pluggakuten!

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Smaragdalena skrev:

Välkommentill Pluggakuten!

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Ja

Blubbben skrev:

AlvinB skrev:

Du får bara använda Greens formel ifall kurvan är sluten. Din kurva är inte sluten, men däremot kan du lägga till en kurva så att den blir det. Har du gjort det?

Jag rekommenderar att du ritar upp området om du inte redan gjort det.

Ja, jo men den kurvan som jag lägger till blir 0

Jag har ritat upp det i desmos

Vilken kurva lägger du till då?

Den enklaste kurvan jag kan tänka mig (en rät linje från $(0,2)$ till $(0,-2)$) har inte en kurvintegral som är lika med noll. Den var visst lika med noll, det var jag som klantade mig med beräkningarna.

Det är svårt att förstå hur du har kommit fram till $2r^2\cos(t)\ drdt$. Vad får du för partiella derivator? Vad har du gjort för variabelbyte?

AlvinB skrev:

Blubbben skrev:

Visa föregående citat

AlvinB skrev:

Du får bara använda Greens formel ifall kurvan är sluten. Din kurva är inte sluten, men däremot kan du lägga till en kurva så att den blir det. Har du gjort det?

Jag rekommenderar att du ritar upp området om du inte redan gjort det.

Ja, jo men den kurvan som jag lägger till blir 0

Jag har ritat upp det i desmos

Vilken kurva lägger du till då?

Den enklaste kurvan jag kan tänka mig (en rät linje från $(0,2)$ till $(0,-2)$) har inte en kurvintegral som är lika med noll.

Det är svårt att förstå hur du har kommit fram till $2r^2\cos(t)\ drdt$. Vad får du för partiella derivator? Vad har du gjort för variabelbyte?

Greens ger mig 2x varpå jag använder polära koordinater för att få 2r^2cos(t) drdt

Sedan läggr jag till en rät linje som du säger från (0,2) till (0,-2) varpå den =0 ty x=0 ger mig funktionen 4y som jag integrerar från -2<y<2 och får då 0

Okej, du använder alltså greens formel och får:

$\displaystyle\int_C\mathbf{F}\cdot\ d\mathbf{r}=\iint_D\dfrac{\partial\mathbf{F}_y}{\partial x}-\dfrac{\partial\mathbf{F}_x}{\partial y}\ dxdy=\iint_D -2x\ dxdy$

(Jag orkar inte skriva ut vektorfältet, så jag kallar det för $\mathbf{F}$ istället)

där $D$ är området innanför kurvan $(3x^2+2y)^2=-x^2+16$ med positiv $x$-koordinat, det vill säga:

$D=\{(x,y)|(3x^2+2y)^2\leq-x^2+16,x\geq0\}$

Eftersom integranden är relativt enkel skulle jag istället fokusera på att hitta ett variabelbyte som gör det enkelt att beskriva området $D$. Kan du hitta något sådant variabelbyte?

AlvinB skrev:

Okej, du använder alltså greens formel och får:

$\displaystyle\int_C\mathbf{F}\cdot\ d\mathbf{r}=\iint_D\dfrac{\partial\mathbf{F}_y}{\partial x}-\dfrac{\partial\mathbf{F}_x}{\partial y}\ dxdy=\iint_D -2x\ dxdy$

(Jag orkar inte skriva ut vektorfältet, så jag kallar det för $\mathbf{F}$ istället)

där $D$ är området innanför kurvan $(3x^2+2y)^2=-x^2+16$ med positiv $x$-koordinat, det vill säga:

$D=\{(x,y)|(3x^2+2y)^2\leq-x^2+16,x\geq0\}$

Eftersom integranden är relativt enkel skulle jag istället fokusera på att hitta ett variabelbyte som gör det enkelt att beskriva området $D$. Kan du hitta något sådant variabelbyte?

Inte helt med på hur du vill göra 

men varför kan man inte göra så som jag gjort?

AlvinB skrev:

Okej, du använder alltså greens formel och får:

$\displaystyle\int_C\mathbf{F}\cdot\ d\mathbf{r}=\iint_D\dfrac{\partial\mathbf{F}_y}{\partial x}-\dfrac{\partial\mathbf{F}_x}{\partial y}\ dxdy=\iint_D -2x\ dxdy$

(Jag orkar inte skriva ut vektorfältet, så jag kallar det för $\mathbf{F}$ istället)

där $D$ är området innanför kurvan $(3x^2+2y)^2=-x^2+16$ med positiv $x$-koordinat, det vill säga:

$D=\{(x,y)|(3x^2+2y)^2\leq-x^2+16,x\geq0\}$

Eftersom integranden är relativt enkel skulle jag istället fokusera på att hitta ett variabelbyte som gör det enkelt att beskriva området $D$. Kan du hitta något sådant variabelbyte?

Eller tänker du att jag tar och integrerar med avseende på x och y?

Vad jag säger är att polära koordinater gör det svårt att hitta gränser för just det här området. Det blir också svårt om man är kvar i kartesiska koordinater.

Vi behöver hitta ett variabelbyte som gör det enkelt att beskriva området, på liknande sätt som man enkelt kan beskriva området $x^2+y^2\leq1$ i polära koordinater som $r\leq1$, $0\leq\theta\leq2\pi$.

AlvinB skrev:

Vad jag säger är att polära koordinater gör det svårt att hitta gränser för just det här området. Det blir också svårt om man är kvar i kartesiska koordinater.

Vi behöver hitta ett variabelbyte som gör det enkelt att beskriva området, på liknande sätt som man enkelt kan beskriva området $x^2+y^2\leq1$ i polära koordinater som $r\leq1$, $0\leq\theta\leq2\pi$.

Vet inte hur jag ska göra det?

Jag trodde det här var enklare än vad det var, men nu när jag tittar en gång till så är det ganska lurigt. Detta variabelbyte kanske inte är det smidigaste, men det fungerar i alla fall.

Om vi skriver om olikheten enligt följande:

$(3x^2+2y)^2\leq-x^2+16$

$x^2+(3x^2+2y)^2\leq16$

ser vi att vi har två kvadrater. Detta skulle vi gärna vilja använda trigonometriska ettan på. Vi vill alltså att:

$x=r\cos(\theta)$

$3x^2+2y=r\sin(\theta)$

eftersom vi då får:

$x^2+(3x^2+2y)^2\leq16$

$r^2\cos^2(\theta)+r^2\sin^2(\theta)\leq16$

$r^2\leq16$

$r\leq4\ \ \ \ \$ (eftersom $r\geq0$)

Tillsammans med $x\geq0$, som blir:

$r\cos(\theta)\geq0$

$\cos(\theta)\geq0$

$-\dfrac{\pi}{2}\leq\theta\leq\dfrac{\pi}{2}\ \ \ \ \$ (Dessa är värdena för vilka cosinusfunktionen är positiv inom det önskade intervallet)

Vi kan alltså beskriva området i dessa koordinater med olikheterna $0\leq r\leq4$ och $-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$.

Nu gäller det bara att ta reda på jacobianen. Det är ganska mycket jobb, men det blir i alla fall en fin jacobian. Vi vet ju redan att:

$x=r\cos(\theta)$

Sätter vi in detta i

$3x^2+2y=r\sin(\theta)$

kan vi lösa ut för $y$:

$3r^2\cos^2(\theta)+2y=r\sin(\theta)$

$2y=r\sin(\theta)-3r^2\cos^2(\theta)$

$y=\dfrac{r\sin(\theta)-3r^2\cos^2(\theta)}{2}$

Variabelbytet är alltså:

$\{\begin{matrix}x=r\cos(\theta)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\y=\dfrac{r\sin(\theta)-3r^2\cos^2(\theta)}{2}\end{matrix}$

Vad får du för Jacobideterminant för detta?

AlvinB skrev:

Jag trodde det här var enklare än vad det var, men nu när jag tittar en gång till så är det ganska lurigt. Detta variabelbyte kanske inte är det smidigaste, men det fungerar i alla fall.

Om vi skriver om olikheten enligt följande:

$(3x^2+2y)^2\leq-x^2+16$

$x^2+(3x^2+2y)^2\leq16$

ser vi att vi har två kvadrater. Detta skulle vi gärna vilja använda trigonometriska ettan på. Vi vill alltså att:

$x=r\cos(\theta)$

$3x^2+2y=r\sin(\theta)$

eftersom vi då får:

$x^2+(3x^2+2y)^2\leq16$

$r^2\cos^2(\theta)+r^2\sin^2(\theta)\leq16$

$r^2\leq16$

$r\leq4\ \ \ \ \$ (eftersom $r\geq0$)

Tillsammans med $x\geq0$, som blir:

$r\cos(\theta)\geq0$

$\cos(\theta)\geq0$

$-\dfrac{\pi}{2}\leq\theta\leq\dfrac{\pi}{2}\ \ \ \ \$ (Dessa är värdena för vilka cosinusfunktionen är positiv inom det önskade intervallet)

Vi kan alltså beskriva området i dessa koordinater med olikheterna $0\leq r\leq4$ och $-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$.

Nu gäller det bara att ta reda på jacobianen. Det är ganska mycket jobb, men det blir i alla fall en fin jacobian. Vi vet ju redan att:

$x=r\cos(\theta)$

Sätter vi in detta i

$3x^2+2y=r\sin(\theta)$

kan vi lösa ut för $y$:

$3r^2\cos^2(\theta)+2y=r\sin(\theta)$

$2y=r\sin(\theta)-3r^2\cos^2(\theta)$

$y=\dfrac{r\sin(\theta)-3r^2\cos^2(\theta)}{2}$

Variabelbytet är alltså:

$\{\begin{matrix}x=r\cos(\theta)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\y=\dfrac{r\sin(\theta)-3r^2\cos^2(\theta)}{2}\end{matrix}$

Vad får du för Jacobideterminant för detta?

Min jacobideterminant blir jättelång, känns väldigt krångligt...

Det är krångligt att ta fram den, men själva Jacobideterminanten blir enkel. Visa hur du räknar ut den, så kan vi se om du gör fel någonstans.

Jag håller med om att det här variabelbytet är bökigt, men jag har tyvärr inga bättre idéer.

AlvinB skrev:

Det är krångligt att ta fram den, men själva Jacobideterminanten blir enkel. Visa hur du räknar ut den, så kan vi se om du gör fel någonstans.

Jag håller med om att det här variabelbytet är bökigt, men jag har tyvärr inga bättre idéer.

okej, dx/dr*dy/dt-dy/dr*dx/dt

dy/dr= 1/2 (-6 r cos^2(t) + sin(t))

dy/dt= 1/2 r cos(t) (1 + 6 r sin(t))

dx/dr=cos(t)

dx/dt=rsin(t)

1/2 r cos^2(t) (1 + 6 r sin(t)) - 1/2 r sin(t) (-6 r cos^2(t) + sin(t)) = 1/2 r (cos(2 t) + 12 r cos^2(t) sin(t))

Du har missat ett minustecken på den ena $x$-derivatan. Det skall vara:

$\dfrac{\partial x}{\partial\theta}=-r\sin\left(\theta\right)$

AlvinB skrev:

Du har missat ett minustecken på den ena $x$-derivatan. Det skall vara:

$\dfrac{\partial x}{\partial\theta}=-r\sin\left(\theta\right)$

r/2 får jag då, helt annan femma! GOTT!

Hur ska jag tänka för att gå vidare här?

Du vet variabelbytet, du vet gränserna och du vet Jacobideterminanten.

Vad blir då integralen?

AlvinB skrev:

Du vet variabelbytet, du vet gränserna och du vet Jacobideterminanten.

Vad blir då integralen?

rcost(3r^2cos^2t+rsint-3r^2cos^2t)+2(rsint-3r^2cos^2t) integrerar med avseende på t --> -3*pi*r^2

Integrerar sedan den och får -64pi vilket är fel (64pi är fel det med)

Var får du det där ifrån?

Integralen är ju

$\displaystyle\iint_D-2x\ dxdy=$

och vi visste att $x=r\cos(\theta)$ i de nya variablerna och att Jacobideterminanten var $\frac{r}{2}$ (vi kan strunta i att ta absolutbeloppet av det här eftersom $r>0$). Då blir integralen:

$\displaystyle=\iint_E-2r\cos\left(\theta\right)\cdot\frac{r}{2}\ drd\theta$

där $E=\{\left(r,\theta\right)|0\leq r\leq4,-\dfrac{\pi}{2}\leq\theta\leq\dfrac{\pi}{2}\}$

Hänger du med på det?

Blubbben skrev:

AlvinB skrev:

Du vet variabelbytet, du vet gränserna och du vet Jacobideterminanten.

Vad blir då integralen?

rcost(3r^2cos^2t+rsint-3r^2cos^2t)+2(rsint-3r^2cos^2t) integrerar med avseende på t --> -3*pi*r^2

Integrerar sedan den och får -64pi vilket är fel (64pi är fel det med)

Använd gärna formelskrivaren för att skriva läsliga formler (du hittar det näst längst till höger i inskrivningsrutan, om du sitter vid datorn). Alternativt kan du ta ett foto och lägga in bilden här. /moderator

AlvinB skrev:

Var får du det där ifrån?

Integralen är ju

$\displaystyle\iint_D-2x\ dxdy=$

och vi visste att $x=r\cos(\theta)$ i de nya variablerna och att Jacobideterminanten var $\frac{r}{2}$ (vi kan strunta i att ta absolutbeloppet av det här eftersom $r>0$). Då blir integralen:

$\displaystyle=\iint_E-2r\cos\left(\theta\right)\cdot\frac{r}{2}\ drd\theta$

där $E=\{\left(r,\theta\right)|0\leq r\leq4,-\dfrac{\pi}{2}\leq\theta\leq\dfrac{\pi}{2}\}$

Hänger du med på det?

pinsamt korkat från min sida....

tusen tack! helt med på din arbetsgång  men känns som om det borde finnas en enklare lösning till problemet... osäker på om detta är så vår professor vill att vi ska lösa problemet, men tusen tack igen.

Ja, jag tycker också det var krångligt. Du får gärna dela med dig om du kommer över någon annan lösning på det här. :-)