Kurvintegral

Hej,

Jag kollar på en lösning gällande kurvintegraler där man ska beräkna integralen $\int F dr$ för det givna fältet F. Men det jag inte förstår, och önskar att få lite klarhet i, är hur de får fram att $\int d[x^3y-xy^2+cos(xy)+y]$? Vad är de för uträkning de genomfört för att komma dit? Edit: Jag har insett att uttrycket i hakparentesen är från integralen av Qdy, det vill säga $\int (x^3-2xy-xsin(xy)+1)dy$ men varför?

Att integralen är konservativ är jag medveten om men detta vet jag för att jag kontrollerade de partiella derivatorna för dP/dy och dQ/dx (där P är den första delen av F och Q den andra). Bifogar lösningen nedan. 

Också: Eftersom att de partiella derivatorna är lika finns det en sats som säger att kurvintegralen är lika med noll (om de inre av kurvan är sådant att vi kan tillämpa Greens formel) men detta gäller inte alltid - varför? Och när vet jag om jag kan applicera denna? Tex kan jag applicera denna formel i detta fall?