Kurvintegral

Hej,

Jag försöker lösa följande kurvintegral:

${\int }_{\gamma }^{}\frac{-2y}{{(x-y)}^3 }dx+\frac{x+y}{{(x-y)}^3}dy$

där $\gamma$är ett kvarts varv av enhetscirkeln i positiv led från (0,-1) till (1,0).

Jag tänker att det är smart att införa polära koordinater då vi skall integrera längs enhetscirkeln. Därför bildar jag följande parametrisering:

$\stackrel{\rightharpoonup }{r}\left(t\right)=\left(\cos \right(t),\sin (t\left)\right), t\in [3\mathrm{\pi }/2,2\mathrm{\pi }]$

Om jag substituerar in detta i integranden för kurvintegralen fås, efter en del förenklingar:

${\int }_{3\pi /2}^{2\pi }\frac{1+\sin \left(t\right)\left(\sin \right(t)+\cos (t\left)\right)}{\left(\cos \right(t)-\sin {\left(t\right))}^3}dt$

Vilken blir ganska jobbig att hantera. Jag tänker att det kanske finns något annat, enklare sätt att lösa uppgiften. Den går säkert att lösa genom att utnyttja halva vinkeln för tangens, men det blir nog för mycket jobb tänker jag. Sedan ser jag inte något direkt sätt att tillämpa kedjeregeln.

Har ni några tips?