Kurvintegral

Hej! Jag har återigen fastnat, och denna gången är det en kurvintegral det gäller.

Uppgiften ser ut på följande sätt:

$\int_{γ} (\frac{1}{x + 1} - \frac{y}{{(x + y)}^{2}}) d x + (\frac{1}{y + 1} - \frac{x}{{(x + y)}^{2}}) d y d ä r γ f ö l j e r c i r k e \ln x^{2} + y^{2} = 1 m o t u r s f r å n f r å n p u n k t e n (1, 0) t i l l p u n k t e n (0, 1)$

Jag började med ett variabelbyte och gjorde om

x=cos t, och y=sin t, därifrån får jag determinanterna dx=(-sin t dt), dy= (cos t dt)

där $t : 0 \underset{}{\to \frac{π}{2}}$

Ett variabelbyte sker på följande sätt:

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (\frac{1}{\cos t + 1} - \frac{\sin t}{{(\cos t + \sin t)}^{2}}) (- \sin t) + (\frac{1}{\sin t + 1} + \frac{\cos t}{{(\cos t + \sin t)}^{2}}) (\cos t) d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\frac{- \sin t}{\cos t + 1} - \frac{\sin^{2} t}{{(\cos t + \sin t)}^{2}}) + (\frac{\cos t}{\sin t + 1} + \frac{\cos^{2} t}{{(\cos t + \sin t)}^{2}}) d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\frac{\sin^{2} t + \cos^{2} t}{{(\cos t + \sin t)}^{2}}) + (\frac{\cos t}{\sin t + 1} - \frac{\sin t}{\cos t + 1}) d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\frac{1}{{(\cos t + \sin t)}^{2}}) + (\frac{\cos t}{\sin t + 1} - \frac{\sin t}{\cos t + 1}) d t$

Jag vet inte riktigt hur jag ska göra i nästa steg.

Du har gjort fel i första steget av variabelbytet då det ska vara ett minustecken mellan termerna i tredje parentesen.

Edit: Sedan är det bara att integrera som vanligt. Du har exempelvis:

$\displaystyle \int\frac{\sin t}{\cos t+1} dt=\begin{pmatrix}\cos t+1=u\\-\sin t\;dt=du\end{pmatrix}=\int\frac{-1}{u}du$

oj blev visst fel

Ebola skrev:
Du har gjort fel i första steget av variabelbytet då det ska vara ett minustecken mellan termerna i tredje parentesen.
Edit: Sedan är det bara att integrera som vanligt. Du har exempelvis:
$\displaystyle \int\frac{\sin t}{\cos t+1} dt=\begin{pmatrix}\cos t+1=u\\-\sin t\;dt=du\end{pmatrix}=\int\frac{-1}{u}du$

Det gjorde mig inte riktigt klokare, då jag inte vet hur jag sta integrera vidare i högre potenser :/

Insåg felet du påpekade och har ändrat om plustecknet till minus.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos t}{\sin t + 1} - \frac{\sin t}{\cos t + 1} + \frac{\sin^{2} t - \cos^{2} t}{{(\cos t + \sin t)}^{2}} d t$

Nu har jag kommit hit. Förstår inte hur jag ska göra ännu ett variabelbyte och få in u?

ViGT skrev:
Det gjorde mig inte riktigt klokare, då jag inte vet hur jag sta integrera vidare i högre potenser :/

Jag förstår inte vad du skriver. Du har:

$\displaystyle \int \dfrac{-1}{u} du=-ln\left|u\right|$

Sedan är det bara att sätta in dina gränser som vid exempelvis substitutionen jag gjorde ovan blir $u\in [2,1]$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos t}{\sin t + 1} - \frac{\sin t}{\cos t + 1} + \frac{\sin^{2} t - \cos^{2} t}{{(\cos t + \sin t)}^{2}} d t$
Nu har jag kommit hit. Förstår inte hur jag ska göra ännu ett variabelbyte och få in u?

För det första tar du varje term för sig. Den första termen är likadan som den andra vilken jag redan visat dig. Den tredje använder du dubbla vinkeln:

$\cos 2t = \cos^{2} t - \sin^{2} t$

$\sin 2t = 2\sin t \cos t$

Utvecklar du parentesen i nämnaren kan du använda trigettan och dubbla vinkeln.

Svara

Visa senaste svar