Kurvintegral

Och hur kan jag rita området 

Det första steget är att bilda sig en uppfattning om hur kurvan $\mathbf{r}=(1+\cos(t),1+\sin(t),1-\cos(t)-\sin(t))$ ser ut.

Jag antar att du ser att $x$- och $y$-koordinaten bildar en viss figur i $xy$-planet med centrum i $(1,1)$. Vilken figur?

Den lite svårare biten är hur kurvan ser ut i $z$-led. För det kan det vara bra att ta fram en yta som kurvan ligger på. I vårt fall blir det lätt om vi omvandlar till kartesiska koordinater genom att sätta $x=1+\cos(t)\Leftrightarrow\cos(t)=x-1$ och $y=1+\sin(t)\Leftrightarrow\sin(t)=y-1$. Då blir $z=1-(x-1)-(y-1)=3-x-y$. Vet du vilken typ av yta $z=3-x-y$ är?

Nu borde du kunna säga hur området ser ut, och då kan du avgöra vilken metod som är lämpligast för att beräkna kurvintegralen, d.v.s. om du t.ex. ska använda Stokes sats eller beräkna den med parametriseringen.

vi får en enhetscirklel i xy planet, och z=3-x-y är en plan. 

men om jag till exempel ska använde stokes sats, och eftersom stokes sats krever att vi har en orienterad yta med orienterad rand. så hur kan se detta ut från informationen i uppgiften, och tack för din svar

Just det! Kurvans projektion i $xy$-planet är en cirkel, och eftersom kurvan ligger på ett snett (d.v.s. icke-parallellt med $xy$-planet) plan kommer kurvan att vara en ellips. Vi kan dubbelkolla med Geogebra och se att detta stämmer:

Vi vet att kurvan är sluten och ligger i ett plan, så då kan det precis som du säger vara klokt att använda Stokes sats. Men precis som du inflikar så måste vi ju då reda ut orienteringen. Sett ovanifrån (positiv $z$-led) går kurvan i moturs, eller positiv riktning som man ibland säger. Kom ihåg att en cirkel med parametriseringen $(\cos(t),\sin(t))$ går moturs så förstår du nog varför.

När kurvan går i moturs riktning uppifrån sett ska vi låta ytan i Stokes sats ha en normal som pekar uppåt, d.v.s. normalen skall ha positiv $z$-koordinat. Vad blir då normalen?

hej igen , eftersom vi har z=3-x-y, blir normalen lik (1,1,1)

hej, igen så för att argumentera på varför vi använder stokes sats, kan vi säga att eftersom projektionen i xy-planet är en cirkel med parametrisering (cost,sint), har vi en orienterad yta med orienterad rand, och vi kan använde stokes sats. 

Nja.. Normalen till planet $z=3-x-y$ är ju $(-1,-1,1)$ (eller $1/\sqrt{3}(-1,-1,1)$ beroende på om du vill ha den normerad). Är du med på det?

ja , jag tänker mig att vi har z=f(x,y)=3-x-y, därmed kan vi använde formelen (-f'x, -f'y,1), eller gäller inte den här

Jodå, det gäller här, $\mathrm{d}\mathbf{S}=(1,1,1)\mathrm{d}x \mathrm{d}y$

Kan du ställa upp integralen med Stokes sats?

hej, och tack för svar , jag får att rot f=(0,0,2x), därmed blir integranden 2x. och från parametriseringen har vi att x=1+rcost. 

och 2x=2+2rcost. med förändringsfactor r. då får vi svaret 2*pi. 

Ja, det är rätt svar och bra tänkt!

tack så mycket, det var till stor hjälp från er