Kurvintegral

r(t) är en tvådimensionell vektor! $r\left(t\right)=\left(r_1\right(t), r_2(t\left)\right)$. Det motsvarar i princip (x,y) i varje punkt. Parametriseringen har gett oss att $y=r_2\left(t\right)={\sin }^{2}t$. dy är då derivatan av y, vilket är 2sin(t)cos(t). :)

Aha oj tack! Så man kan bara se dy som derivatan? Tänkte att man behövde använda determinanten av jacobimatrisen eller något sånt?

Ja, dy betyder "differentialen av y", och refererar till att du tittar på y i många, väldigt små intervall. 

Nja, kurvintegraler kan beräknas som $\int \overline{F}·d\overline{r}=\int \overline{F}\left(\overline{r}\right(t\left)\right)·\overline{r}\text{'}\left(t\right)dt$. :)

Jaha ja juste. Men borde inte kurvintegralen ha dr då istället för dy? Hehe nu blev jag lite förvirrad...

Man kan kalla sin integrationsvariabel för vad som helst.

$\mathrm{d}\mathbf{r}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t$

Tänk integralen som en summering.

${\int }_{C}x dy$

betyder summera x i riktning y efter kurvan C. Lägg märke till att dy inte behöver vara i kurvans riktning. Hade det istället stått

${\int }_{C}x dr$

betyder det summera x i riktning r efter kurvan C. dr är i kurvans riktning så det kan till exempel vara en integral som beräknar något slags arbete

Ah oki tack! Tänkte bara det var konstigt då det brukar stå dr i en kurvintergral med en parametrisering.

Det finns två skrivsätt för kurvintegraler. Säg att vi har vektorfältet $\mathbf{F}=(2y,3x)$. En kurvintegral längs en kurva $\gamma$ kan då skrivas som:

$\displaystyle\int_\gamma\mathbf{F}\cdot\ d\mathbf{r}$

eller

$\displaystyle\int_\gamma 2y\ dx+3x\ dy$

Det är denna nedre variant, där man anger vektorfältet i en så kallad differentialform, du har att göra med här. Man skriver helt enkelt vektorfältets $x$-komponent följt av $dx$ plus vektorfältets $y$-komponent följt av $dy$.

I ditt fall med integralen

$\displaystyle\int_C x\ dy$

motsvarar differentialformen $x\ dy$ vektorfältet $\mathbf{F}=(0,x)$ (fältets $x$-komponent är noll och därför skrivs $dx$ inte ut).