Kurvintegral

Vi ska beräkna $\int_{γ} F * d r, d ä r F (x, y) = (\frac{2 x - y}{x^{2} + y^{2}}, \frac{x + 2 y}{x^{2} + y^{2}}) o c h γ ä r k u r v a n y = x^{2} f r å n (1, 1) t i l l (2, 4)$

Vi har att:

$\frac{d P}{d y} = \frac{- x^{2} - 4 x y + y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = \frac{d Q}{d y}$

Jag vet att "formeln" ser ut såhär:

$- \int_{γ} P d x + Q d y + \int_{γ 1} P d x + Q d y - \int_{γ 2} P d x + Q d y = \iint (\frac{d Q}{d x} - \frac{d P}{d y}) d x d y = 0 D v s \int_{γ} P d x + Q d y = \int_{γ 1} P d x + Q d y - \int_{γ 2} P d x + Q d y$

Nu vet jag inte hur jag ska parametrisera $γ 1 o c h γ 2$ . Kan någon hjälpa mig?

Tack på förhand!

Du menar dQ/dx där du skrev dQ/dy. Då vet du att F är ett konservativt kraftfält, dvs linjeintegralen beror bara av start och slutpunkt. Det kan man utnyttja till att välja en enklare väg. Tydligen har du tänkt dej att den ska bestå av kurvan gamma1 följd av kurvan gamma2 baklänges. Vilka är dessa båda kurvor?

Det andra sättet att lösa integralen är att finna en potential P, alltså ett uttryck i x och y så att dP/dx=F1 och dP/dy=F2. Då blir nämligen integralen P(slut)-P(start).

Henrik Eriksson skrev :
Du menar dQ/dx där du skrev dQ/dy. Då vet du att F är ett konservativt kraftfält, dvs linjeintegralen beror bara av start och slutpunkt. Det kan man utnyttja till att välja en enklare väg. Tydligen har du tänkt dej att den ska bestå av kurvan gamma1 följd av kurvan gamma2 baklänges. Vilka är dessa båda kurvor?
Det andra sättet att lösa integralen är att finna en potential P, alltså ett uttryck i x och y så att dP/dx=F1 och dP/dy=F2. Då blir nämligen integralen P(slut)-P(start).

Oj förlåt det blev nån slarvfel där!

Jag kollade på liknande uppgifter där de har dessa kurvor som de sedan parametriserar men hur tänkte du kring potentialfunktionen?

Ska jag bara hitta potentialfunktionen U(x,y) och sätta in U(slut)-U(start), är uppgiften klar då?

Ja, då är det klart. Men om du hittar några smarta vägar gamma1 och gamma2 som gör integrationen lätt så är det också en framkomlig väg. Den bästa jag kan komma på är gamma1 vågrätt från 1,1 till 2,1 och gamma2 lodrätt från 2,1 till 2,4. Det går att genomföra. Men det är roligare att hitta potentialen.

Svara

Visa senaste svar