Kurvintegral

En kurva kan man beskriva med en parameter. I det är fallet var y=x^2, så en lämplig parameter är ju då t=x, och kurvan blir då gamma (t)=(t, t^2) (x=y, y=x^2=t^2). Hänger du med?

 jag är med på att byta till t=x och då får vi parabelbågen y=$t^2$

men sen är jag inte med på hur man går vidare jag är inte riktigt med på hur man ska göra med punkterna (1,1) och (2,4)

En kurvintegral blir ju när du parametriserat den en integral av en variabel. Punkterna avslöjar integrationsgränserna. Kurvan går från (1,1) till (2,4), och eftersom t=x kommer alltså t gå från 1 till 2 (x-koordinaterna i punkterna). 

okej, jag provade med att sätta

x=t

y= $t^2$ 

$$\begin{gathered} \frac{dx}{dt}=t\Rightarrow dx=dt \\ \frac{dy}{dt}=2t\Rightarrow dy=2tdt \end{gathered}$$

$\int t^2\times \ln \frac{t^2}{t^2}dt-\frac{t}{t^2}2tdt$ och sedan försökte jag bryta ur dt

$\int (t^2\times \ln (t)-\frac{t}{t^2}2t)dt$

sen tror jag nästa steg ska vara att hitta de primitiva funktionerna

Den primitiva funktionen till $t^2$ är ju $\frac{1}{3}{t}^3$ och 2t blir ju $t^2$ men sen kommer jag inte längre.

Titta en gång till på vad argumentet i logaritmen ska vara. 

jag är osäker på hur det blir med ln där har jag problem. jag har ju t^2/t^2 blir det inte ln(1)=0?

Jo precis! Det är inte mycket kvar att integrera då. 

okej så kvar att integrera blir alltså ($t^2-\frac{t}{t^2}\times 2t)$

t^2 och 2t kan jag men t/t^2 blir det t^-2 som primitiv funktion? i så fall har jag

$[\frac{1}{3}{t}^3-t^{-2}\times 2t{{]}_1}^2$

Du missar något när du förenklar integranden. 

vad jag missar?  jag hänger inte med riktigt

Hej!

Jag ser två vägar som du skulle kunna gå.

1. Parameterisera kurvan $\gamma$.
2. Skapa ett område (utan hål) där integranden är definierad och vars rand innehåller kurvan $\gamma.$ Använd sedan Greens formel för att koppla ihop kurvintegralen längs randen med en ytintegral över området.

Integranden är vektorfältet $(P(x,y),Q(x,y))$ där $P(x,y) = y\ln\frac{x^3}{y}$  och $Q(x,y) = -\frac{x}{y}$; notera att vektorfältet är odefinierat i origo. Kurvan $\gamma$ är lika med mängden $\displaystyle \gamma = \{(x,y)\,:\,y=x^2\ , x\in[1,2]\}.$ Längs denna kurva är vektorfältet $(P(x,x^2),Q(x,x^2))$ där $P(x,x^2) = 0$ -- eftersom $\ln 1 = 0$ -- och Error converting from LaTeX to MathMLdy = d(x^2) = 2x\,dx$$ så blir kurvintegralen lika med följande tal.

    $\displaystyle \oint_{\gamma} Pdx+Qdy = \int_{x=1}^{2}(-2)\,dx = -2.$

Albiki

Hej!

Längs kurvan $\gamma$ är vektorfältets komponenter lika med $P(x,x^2) = 0$ och $Q(x,x^2) = -\frac{1}{x}$ där $x\in[1,2]$. Notera också att längs kurvan så är differentialen $dy = 2x dx$

Albiki

okej tack, men jag hade tänkt att vänta med att använda greens formel då vi inte kommit dit än i kursen.

Om jag fortsätter på sättet jag gjorde hittills och fick fram $(t^2-\frac{t}{t^2}\times 2t)$ och sedan tog de primitiva funktionerna $[\frac{1}{3}{t}^3-t^{-2}\times t^2{{]}_1}^2$ någonstans blir det fel när jag tar de primitiva funktionerna.

Jag vet inte om det är rena avskrivningsfel eller att vad det är, för ibland blir vissa t till ettor och liknande, men jag skriver ner hur jag skulle gjort. Vi sätter in din parametriserade kurva i P och Q:

$P\left(\gamma \right(t\left)\right)=t\ln \frac{t^2}{t^2}=t\ln \left(1\right)=0$

$Q\left(\gamma \right(t\left)\right)=-\frac{t}{t^2}=-\frac{1}{t}$

$\frac{dy}{dt}=2t\iff dy=2tdt$

Vi kan hoppa över dx/dt eftersom P ändå blev noll.

Vi har nu kurvintegralen:

${\int }_1^{2}0 -\frac{1}{t}2tdt={\int }_1^2-2dt=-2{\int }_1^{2}dt=-2{{\left[t\right]}^2}_1=-2(2-1)=-2$

okej jag tror att jag förstår det mesta t*ln(1) blir ju t*0 som blir 0 och därför blir P=0

i Q får vi $-\frac{t}{t^2}=\frac{1}{t}$ och den primitiva funktionen till $\frac{1}{t}$ blir väl t och därav $\left|t\right|$

och -2 framför integralen får vi av -2tdt

Har jag förstått det rätt nu?

Idil M skrev :

okej jag tror att jag förstår det mesta t*ln(1) blir ju t*0 som blir 0 och därför blir P=0

i Q får vi $-\frac{t}{t^2}=\frac{1}{t}$ och den primitiva funktionen till $\frac{1}{t}$ blir väl t och därav $\left|t\right|$

och -2 framför integralen får vi av -2tdt

Har jag förstått det rätt nu?

Nja, du glömmer att dy=2tdt, så det blir inte $\frac{1}{t}dt$ utan $\frac{1}{t}2tdt\hspace{0.17em}=\frac{2t}{t}dt=2dt$

Med ett minustecken framför också, eftersom det var minustecken framför Q.

Primitiven till 1/t är ju $\ln \left|t\right|$. I mitt sista steg flyttar jag ut konstanten -2, men det är ju som att det står en etta innanför integralen, och primitiven till 1 är ju x.