Kurva som saknar extrempunkter

Uppgiften lyder:

För vilka tal a gäller att kurvan $y = x^{3} + a x^{2} + x$ saknar extrempunkter?

Jag deriverade funktionen och satte den lika med noll: $y' = 3 x^{2} + 2 a x + 1 = 0$

Med pq-formeln blev den: $x = - \frac{\frac{2 a x}{3}}{2} \pm \sqrt{{(\frac{\frac{2 a x}{3}}{2})}^{2} - \frac{1}{3}} = - \frac{a x}{3} \pm \sqrt{\frac{a^{2}}{9} - \frac{1}{3}}$

Den sista biten vet jag inte hur jag förenklar vidare. Min initiala tanke var att förlänga $\frac{1}{3}$ (under rottecknet) med 3 så att jag sedan kan få bort 9:an. Såhär:

$\sqrt{\frac{a^{2}}{9} - \frac{1 \times 3}{3 \times 3}} = \sqrt{\frac{a^{2} - 3}{9}} \sqrt{\frac{a^{2} - 3}{9} \times 9} = \sqrt{a^{2} - 3}$

Men jag gör troligen fel. Hur gör man?

PS. Har funnit andra trådar som behandlar samma fråga men just förenklingen verkar ingen ha skrivit en utvecklad förklaring om.

Ser rimligt ut men vart är du påväg? Vad vill du visa eller undersöka med hjälp av rotuttrycket?

Din första förenkling är rätt - du kan skriva uttrycket som $\sqrt{\frac{a^2-3}{9}}$ , din andra manipulation är inte riktig, eftersom uttrycket får ett annat värde när man multiplicerar det med en konstant. Däremot kan du skriva om det till $\frac{\sqrt{a^2-3}}{\sqrt9}=\frac{\sqrt{a^2-3}}{3}$ - men det spelar egentligen ingen roll, det viktiga är vilka värden på konstanten $a$ som gör att det blir negativt under rotmärket, d v s att derivatan saknar nollställen. (Detta skulle göra att även din felaktiga förenkling leder fram till rätt svar.)

Räcker det verkligen med att hitta värden så att derivatan inte blir noll? Man kan tänka sig att det finns en terrasspunkt där derivatan antar värdet noll. En terrasspunkt är inte en extrempunkt. Känns som att man behöver en bättre motivering för att helt svara på frågan.

Teraeagle har rätt (som vanligt), man behöver kolla de värden där derivatan är 0 också, förslagsvis med hjälp av andraderivatan eller teckenstudium.

SeriousCephalopod skrev:
Ser rimligt ut men vart är du påväg? Vad vill du visa eller undersöka med hjälp av rotuttrycket?

Är själv inte helt säker. Experimenterar lite och se vart det leder mig - förhoppningsvis till svaret.

För om kurvan ska sakna extrempunkter ska väl talet under rottecknet vara omöjligt att ta roten ur. Så på något sätt ska jag försöka lösa ut a:et, som tydligen är mindre än 3. Är jag på rätt väg?

Smaragdalena skrev:
Din första förenkling är rätt - du kan skriva uttrycket som $\sqrt{\frac{a^2-3}{9}}$ , din andra manipulation är inte riktig, eftersom uttrycket får ett annat värde när man multiplicerar det med en konstant. Däremot kan du skriva om det till $\frac{\sqrt{a^2-3}}{\sqrt9}=\frac{\sqrt{a^2-3}}{3}$ - men det spelar egentligen ingen roll, det viktiga är vilka värden på konstanten $a$ som gör att det blir negativt under rotmärket, d v s att derivatan saknar nollställen. (Detta skulle göra att även din felaktiga förenkling leder fram till rätt svar.)

Tack för förklaringen. I andra trådar där samma fråga tas upp har man förenklat det såhär:

$- \frac{a}{3} \pm \sqrt{\frac{a^{2}}{9} - \frac{1}{3}} = - \frac{a}{3} \pm \frac{1}{3} \sqrt{a^{2} - 3}$

Hur kommer jag dit? Jag förstår inte riktigt hur man bryter ut $\frac{1}{3}$ på det sättet. Eller finns det möjligen andra sätt att göra det på?

Teraeagle skrev:
Räcker det verkligen med att hitta värden så att derivatan inte blir noll? Man kan tänka sig att det finns en terrasspunkt där derivatan antar värdet noll. En terrasspunkt är inte en extrempunkt. Känns som att man behöver en bättre motivering för att helt svara på frågan.

Tack för att du uppmärksammar det, själv trodde jag att även en terrasspunkt räknades till extrempunkterna.

Lacrimosa skrev:
Smaragdalena skrev:
Din första förenkling är rätt - du kan skriva uttrycket som $\sqrt{\frac{a^2-3}{9}}$ , din andra manipulation är inte riktig, eftersom uttrycket får ett annat värde när man multiplicerar det med en konstant. Däremot kan du skriva om det till $\frac{\sqrt{a^2-3}}{\sqrt9}=\frac{\sqrt{a^2-3}}{3}$ - men det spelar egentligen ingen roll, det viktiga är vilka värden på konstanten $a$ som gör att det blir negativt under rotmärket, d v s att derivatan saknar nollställen. (Detta skulle göra att även din felaktiga förenkling leder fram till rätt svar.)
Tack för förklaringen. I andra trådar där samma fråga tas upp har man förenklat det såhär:
$- \frac{a}{3} \pm \sqrt{\frac{a^{2}}{9} - \frac{1}{3}} = - \frac{a}{3} \pm \frac{1}{3} \sqrt{a^{2} - 3}$
Hur kommer jag dit? Jag förstår inte riktigt hur man bryter ut $\frac{1}{3}$ på det sättet. Eller finns det möjligen andra sätt att göra det på?

Förstår du förklaringen som jag skrev, som du själv har citerat? Sedan kan man skriva om $\frac{\sqrt{a^2-3}}{3}=\frac{1}{3}\sqrt{a^2-3}$ , om man vill, och det ville man tydligen i den andra tråden.

Det verkar som om du behöver repetera räkning med rötter.

Smaragdalena skrev:
Lacrimosa skrev:
Smaragdalena skrev:
Din första förenkling är rätt - du kan skriva uttrycket som $\sqrt{\frac{a^2-3}{9}}$ , din andra manipulation är inte riktig, eftersom uttrycket får ett annat värde när man multiplicerar det med en konstant. Däremot kan du skriva om det till $\frac{\sqrt{a^2-3}}{\sqrt9}=\frac{\sqrt{a^2-3}}{3}$ - men det spelar egentligen ingen roll, det viktiga är vilka värden på konstanten $a$ som gör att det blir negativt under rotmärket, d v s att derivatan saknar nollställen. (Detta skulle göra att även din felaktiga förenkling leder fram till rätt svar.)
Tack för förklaringen. I andra trådar där samma fråga tas upp har man förenklat det såhär:
$- \frac{a}{3} \pm \sqrt{\frac{a^{2}}{9} - \frac{1}{3}} = - \frac{a}{3} \pm \frac{1}{3} \sqrt{a^{2} - 3}$
Hur kommer jag dit? Jag förstår inte riktigt hur man bryter ut $\frac{1}{3}$ på det sättet. Eller finns det möjligen andra sätt att göra det på?
Förstår du förklaringen som jag skrev, som du själv har citerat? Sedan kan man skriva om $\frac{\sqrt{a^2-3}}{3}=\frac{1}{3}\sqrt{a^2-3}$ , om man vill, och det ville man tydligen i den andra tråden.
Det verkar som om du behöver repetera räkning med rötter.

Repetition av nämnda avsnitt ska ske! Blir stundtals mycket osäker gällande rötter.

Jag ser en liten konstighet i ditt ursprungliga inlägg här: du har fått med x i pq-formeln. Det ska inte vara något x på högersidan. (Men sen försvinner det bara på något sätt, så fortsättningen är rätt.)

Smaragdalena glömde också föreslå att du ska rita.

Laguna skrev:
Smaragdalena glömde också föreslå att du ska rita.

Hur skulle du rita till den här uppgiften?

Smaragdalena skrev:
Laguna skrev:
Smaragdalena glömde också föreslå att du ska rita.
Hur skulle du rita till den här uppgiften?

Nu borde jag ju rita som svar på det, men jag skriver bara. En tredjegradskurva som kommer nerifrån vänster och går uppåt höger kan bete sig på några olika sätt i mitten, t.ex. inte ha några extrempunkter, ha en terrasspunkt, etc. Om man beräknar derivatan och andraderivatan så kan man föreställa sig de olika fallen lite enklare om man ritar. Det hjälpte mig nu i alla fall.

Svara

Visa senaste svar