Kursen vektoranalys: koppling till gruppteori?
Hej, se här: https://www.kth.se/student/kurser/kurs/SI1146, det står (kursinnehåll):
[...] Symmetribegrepp med relation till grundläggande gruppteori och dess betydelse inom fysiken
Kan någon ge en nybörjarvänlig förklaring på vad det är? Jag blir mycket intresserad för jag vet att det är abstrakt algebra. Intressant att abstrakt algebra har någon tillämpning, jag trodde att det var det mest verklighetsfrånkopplade som fanns (typ).
I matematisk fysik stöter man ibland på Lie-teori, speciellt Lie-algebror och Lie-symmetrier, verktyg i t ex PDE-teori. Finns mycket på Youtube
Kristallografi är väl en del av fysiken (lika väl som av kemin)? Där spelar rymdgrupper en mycket betydelsefull roll.
Dr-lund: ah tack, jag ska leta vidare på de där sökorden.
Smaragdalena: nä det är inte sånna grupper! Det är ett matematiskt objekt som kallas grupp.
Rymdgrupper är matematiska grupper! Ett närbesläktat begrepp är punktgrupper (som, precis som namnet antyder, också är matematiska grupper), som används för att studera symmetrin hos enskilda molekyler (vilket man har nytta av om man vill förstå hur de enskilda atomernas atomorbitaler kan kombineras ihop till molekylorbitaler).
Rent allmänt kan man se en grupp som en mängd av "symmetrioperationer" (typ "formbevarande bijektioner" på en viss mängd) som är sluten under sammansättning och inversion. Grupper dyker därför upp överallt där symmetri dyker upp.
Jag vet inte om det här säger dig något, men jag är som jag har nämnt tidigare ganska förtjust i Lie-grupper, och de dyker ofta upp när man löser PDE:er fysiken (t.ex. Schrödinger-ekvationen) och vill utnyttja att det finns någon slags symmetri i det fysikaliska systemet som man undersöker. Detta brukar resultera i att den grupp som beskriver symmetrin "verkar" som linjära transformationer på lösningsrummet till differentialekvationen man vill lösa. Eftersom vi har tillgång till ganska kraftiga verktyg för att förstå hur Lie-grupper verkar på vektorrum (den delen av matematiken som handlar om detta kallas för representationteori) brukar detta ge någon slags insikt om ekvationens lösningar. Du kan prova att googla runt lite på representationsteori, men det är kanske inte den allra mest lättillgängliga delen av matematiken om man inte redan har viss vana vid att jobba med grupper och vektorrum.
En väldigt, väldigt fundamental användning av grupper och symmetri i fysiken är annars Noethers sats, som är ett djupt och vackert sätt att se på de så kallade bevarandelagar som finns i fysiken (och som jag gärna skulle vilja lära mig mer om någon gång när jag får tid).
Qetsiyah skrev:Dr-lund: ah tack, jag ska leta vidare på de där sökorden.
Smaragdalena: nä det är inte sånna grupper! Det är ett matematiskt objekt som kallas grupp.
Jo, det är sådana grupper, precis som oggih skrev. Om det inte hade varit det, skulle jag inte ha svarat i din tråd. Matematik kan tillämpas i många olika sammanhang, det är detta som gör matematiken så användbar.
