Kub med två bollar (Matematik/Allmänna diskussioner)

Kombinatorik skrev :
Hej!
Uppgiften lyder:
"I kuben nedan är kantens längd 2. I Kuben finns en ljusröd boll som tangerar varje sidoyta i kuben. I ett hörn av kuben finns en mindre, blå boll, som tangerar den stora bollen och tre av kubens sidor enligt figuren. Beräkna det exakta värdet av den blå bollens radie."

Mitt försök:
Är mitt svar rätt? dvs rdien är lika med -(1/2) + 1/sqrt(2) enligt pythagoras sats?

Nej det du har räknat ut är halva avståndet mellan kubens hörn och den röda bollen.

Om det skulle vara lila med den blå bollens radie så måste den i så fall nudda kubens hörn.

Förutom det Yngve skriver har du också glömt att tänka tredimensionellt, du ritar som om det vore cirklar i en kvadrat men det är ju klot i en kub.

Yngve skrev :
Kombinatorik skrev :
Hej!
Uppgiften lyder:
"I kuben nedan är kantens längd 2. I Kuben finns en ljusröd boll som tangerar varje sidoyta i kuben. I ett hörn av kuben finns en mindre, blå boll, som tangerar den stora bollen och tre av kubens sidor enligt figuren. Beräkna det exakta värdet av den blå bollens radie."

Mitt försök:
Är mitt svar rätt? dvs rdien är lika med -(1/2) + 1/sqrt(2) enligt pythagoras sats?
Nej det du har räknat ut är halva avståndet mellan kubens hörn och den röda bollen.
Om det skulle vara lila med den blå bollens radie så måste den i så fall nudda kubens hörn.

Jag förstår hur du menar men hur kan man räkna ut avståndet från kubens hörn till blåa bollens yta?

Kalla avståndet från blåa bollen till hörnet x, och kalla blåa klotets radie r.

Sedan måste du hitta två ekvationer med x och r och ställa upp ett ekvationssystem.

En ekvation kan du få med pythagoras sats. Den andra kan du få med likformighet.

SvanteR skrev :
Kalla avståndet från blåa bollen till hörnet x, och kalla blåa klotets radie r.
Sedan måste du hitta två ekvationer med x och r och ställa upp ett ekvationssystem.
En ekvation kan du få med pythagoras sats. Den andra kan du få med likformighet.

Jag ska nu bevisa att jag inte har förstått hur jag kan få en ekvation av likformigheten :)

$\frac{\frac{4 π}{3}}{\frac{4 {πr}^{3}}{3}} = \frac{1}{r^{2}}$ ???

Jag kan inte rita just nu så det är lite svårt, men tänk dig en triangel med sidorna:

1. Från kubens hörn till mitten av kubens undersida.

2. Från mitten av kubens undersida till mitten av kuben (som också är mitten av stora klotet).

3. Från mitten av kuben till kubens hörn.

Pythagoras sats och uppgifterna i frågan låter dig räkna ut alla tre sidorna.

Sida 3 kommer att gå genom mitten på det lilla klotet. Den kommer att ha längden R+2r+x, där R är det stora klotets radie. Nu har du en ekvation.

Den andra får du med hjälp av att likformighet ger att radien/hypotenusan är samma för stora och lilla klotet (här behöver du rita en figur!).

SvanteR skrev :
Jag kan inte rita just nu så det är lite svårt, men tänk dig en triangel med sidorna:
1. Från kubens hörn till mitten av kubens undersida.
2. Från mitten av kubens undersida till mitten av kuben (som också är mitten av stora klotet).
3. Från mitten av kuben till kubens hörn.
Pythagoras sats och uppgifterna i frågan låter dig räkna ut alla tre sidorna.
Sida 3 kommer att gå genom mitten på det lilla klotet. Den kommer att ha längden R+2r+x, där R är det stora klotets radie. Nu har du en ekvation.
Den andra får du med hjälp av att likformighet ger att radien/hypotenusan är samma för stora och lilla klotet (här behöver du rita en figur!).

Det där med pythagoras sats var lätt att inse för mig men likformigheten mellan radien (vilken av bollarnas radier?) och hypotenusan har jag inte förstått med bild heller

Det finns ett annat sätt som inte kräver någon geometri utöver att känna till att avståndet från kubens centrum till hörnet är sqrt(3). Om den röda radien är x så tänker man sej en följd av bollar med radierna x^2, x^3,.... Tydligen fyller dessa oändligt många bollar ut hela vägen in till hörnet så summan av diametrarna är sqrt(3) -1. Det är bara en enkel geometrisk serie att summera.

Henrik Eriksson skrev :
Det finns ett annat sätt som inte kräver någon geometri utöver att känna till att avståndet från kubens centrum till hörnet är sqrt(3). Om den röda radien är x så tänker man sej en följd av bollar med radierna x^2, x^3,.... Tydligen fyller dessa oändligt många bollar ut hela vägen in till hörnet så summan av diametrarna är sqrt(3) -1. Det är bara en enkel geometrisk serie att summera.

1. Är det inte så att avståndet från kubens centrum till hörnet är = sqrt(1^2 + 1^2) = sqrt(2)?

2. Jag förstår inte hur du kom fram till att de andra bollarnas radier ökar med 1 potens dvs (x, x^2

, x^3, ...)?

3. Ska man då använda formeln för geometrisk summa = 1 *((x^n - 1)/(x - 1), men x - 1 = 0?

Kolla här:

SvanteR skrev :
Kolla här:

Jag är inte särskilt duktig på likformighet men är det inte så att man ska dividera en sida från den stora triangeln med en motsvarig sida i den lilla triangeln? Det ser bara ut som att du dividerar den stora triangelns hypotenusa med den stora triangelns katet och då har vi ju inte använt likformigheten mellan den lilla och stora triangeln?

Edit: Oops, nu ser jag att det var jag som tänkte fel då vi faktiskt har jämfört den lilla med den stora triangeln :)

"Jag är inte särskilt duktig på likformighet men är det inte så att man ska dividera en sida från den stora triangeln med en motsvarig sida i den lilla triangeln?"

Man kan göra så också. Det kommer att ge samma resultat.

SvanteR skrev :
"Jag är inte särskilt duktig på likformighet men är det inte så att man ska dividera en sida från den stora triangeln med en motsvarig sida i den lilla triangeln?"

Man kan göra så också. Det kommer att ge samma resultat.

Är det tänkt att jag nu ska lösa ut r eller x utan att båda ska ingå i samma led? t.ex r = ...x där HL inte innehåller r? Jag har svårt att få det så? eftersom 1 + 2r + x = (r + x)/x så får jag ju aldrig r eller x uttryckt i en variabel.

SvanteR skrev :
Kolla här:

Jag får fel svar när jag använder likformighet:

Pythagoras sats ger $1 + 2 r + x = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} \Leftrightarrow x = \sqrt{2} - 1 - 2 r$

Likformighet ger: $\frac{1 + 2 r + x}{1} = \frac{r + x}{x} \Rightarrow \sqrt{2} = \frac{r + \sqrt{2} - 1 - 2 r}{\sqrt{2} - 1 - 2 r} \Leftrightarrow \Leftrightarrow 2 - \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1 - r \Leftrightarrow \Leftrightarrow r (2 \sqrt{2} - 1) = - 2 \sqrt{2} + 3 \Leftrightarrow r = \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - 1} \approx 0, 094$

Vilket är fel enligt facit då det rätta svaret ska vara $2 - \sqrt{3}$

Är den lodräta kateten i den lilla triangeln verkligen x? Jag tror att SvanteR råkat skriva fel. Du vet alla sidor i den stora triangeln. R=1 och den vågräta kateten är sqrt(2). Förstår du varför? Då kan du med Pytagoras få fram vad R+2r+x är. Det ger dej samtidigt svaret på den första frågan du ställde till mej. Den andra frågan var: om kvoten mellan den lilla och den stora bollens radier är r, hur vet man att kvoten mellan den ännu mindre och den lilla bollens rader också är r? Svaret är likformighet. Den tredje frågan förstår jag inte. Inte är r=1. Den stora bollen är ju större än den lilla bollen.

Du har skrivit fel i den andra kvoten i likformigheten - nämnaren skall vara r, inte x.

Henrik Eriksson skrev :
R=1 och den vågräta kateten är sqrt(2)

Om du menar den stora triangelns vågräta katet så är det ju halva kubens sidlängd det vill säga 1 l.e.?? Dessutom förstår jag inte hur hypotenusan av den stora triangeln är sqrt(3) istället för sqrt(2)

smaragdalena skrev :
Du har skrivit fel i den andra kvoten i likformigheten - nämnaren skall vara r, inte x.

Ok, men det blir fortfarande inte rätt med likformigheten:

$\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2} - 1 - r}{r} \Leftrightarrow r (\sqrt{2} + 1) = \sqrt{2} - 1 \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} \approx 0, 17$

Nej, den vågräta är roten ur två. Ta fram en kub och kolla avståndet från mittpunkten på en sida till ett hörn.

Henrik Eriksson skrev :
Nej, den vågräta är roten ur två. Ta fram en kub och kolla avståndet från mittpunkten på en sida till ett hörn.

Ser nu att du det stämmer, men ännu en gång får jag fel svar med likformigheten:

$\sqrt{3} = \frac{r + \sqrt{3} - 1 - 2 r}{r} \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \approx 0, 37$ då svaret ska var 2 - sqrt(3) = 0,27

Kombinatorik skrev :
smaragdalena skrev :
Du har skrivit fel i den andra kvoten i likformigheten - nämnaren skall vara r, inte x.
Ok, men det blir fortfarande inte rätt med likformigheten:
2=2-1-rr ⇔ r(2+1)=2-1 ⇔r=2-12+1≈0,17

Ja, jag skrev fel i min bild.

Du måste också tänka på att det är en kub. Triangelns "undersida" går från hörnet till mitten av kubens sida. Den sträckan måste du räkna ut med Pythagoras och den blir inte 1!

SvanteR skrev :
Kombinatorik skrev :
smaragdalena skrev :
Du har skrivit fel i den andra kvoten i likformigheten - nämnaren skall vara r, inte x.
Ok, men det blir fortfarande inte rätt med likformigheten:
2=2-1-rr ⇔ r(2+1)=2-1 ⇔r=2-12+1≈0,17
Ja, jag skrev fel i min bild.
Du måste också tänka på att det är en kub. Triangelns "undersida" går från hörnet till mitten av kubens sida. Den sträckan måste du räkna ut med Pythagoras och den blir inte 1!

Även med rätt vågrät katet (som blev sqrt(2) istället) får jag fel svar med likformigheten (se mitt senaste inlägg för mer info)

Kombinatorik skrev :
SvanteR skrev :
Kombinatorik skrev :
smaragdalena skrev :
Du har skrivit fel i den andra kvoten i likformigheten - nämnaren skall vara r, inte x.
Ok, men det blir fortfarande inte rätt med likformigheten:
2=2-1-rr ⇔ r(2+1)=2-1 ⇔r=2-12+1≈0,17
Ja, jag skrev fel i min bild.
Du måste också tänka på att det är en kub. Triangelns "undersida" går från hörnet till mitten av kubens sida. Den sträckan måste du räkna ut med Pythagoras och den blir inte 1!
Även med rätt vågrät katet (som blev sqrt(2) istället) får jag fel svar med likformigheten (se mitt senaste inlägg för mer info)

Det ser ut som om du fortfarande använder $\sqrt{2}$ som värde på triangelns hypotenusa. Det beror i så fall på att du räknade som om det var en kvadrat och inte en kub, och det måste du också ändra.

Precis som SvanteR säger så måste man tänka i 3D här. Du får att

$\frac{R + 2 r + x}{R} = \frac{r + x}{r} \Leftrightarrow x = \frac{2 r^{2}}{R - r} .$

Nu kan hypotenusan i den stora triangeln uttryckas på två sätt:

$c = R + 2 r + \frac{2 r^{2}}{R - r} = \frac{R (R + r)}{R - r} c = \sqrt{{(R \sqrt{3})}^{2} + R^{2}} = R \sqrt{3}$

Löser du ekvationen nedan så får du

$\frac{R (R + r)}{R - r} = R \sqrt{3} \Leftrightarrow r = \frac{R (\sqrt{3} - 1)}{1 + \sqrt{3}} = R (2 - \sqrt{3}) .$

Det sista steget kan du få genom att multiplicera med konjugat osv.

Kombinatorik skrev :
Henrik Eriksson skrev :
Nej, den vågräta är roten ur två. Ta fram en kub och kolla avståndet från mittpunkten på en sida till ett hörn.
Ser nu att du det stämmer, men ännu en gång får jag fel svar med likformigheten:
$\sqrt{3} = \frac{r + \sqrt{3} - 1 - 2 r}{r} \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \approx 0, 37$ då svaret ska var 2 - sqrt(3) = 0,27

Ser nu att du redan har fått rätt svar här. Det gäller ju att

$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (2 - \sqrt{3})}{3 - 1} = \frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.2679 .$

Lirim.K skrev :
Kombinatorik skrev :
Henrik Eriksson skrev :
Nej, den vågräta är roten ur två. Ta fram en kub och kolla avståndet från mittpunkten på en sida till ett hörn.
Ser nu att du det stämmer, men ännu en gång får jag fel svar med likformigheten:
$\sqrt{3} = \frac{r + \sqrt{3} - 1 - 2 r}{r} \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \approx 0, 37$ då svaret ska var 2 - sqrt(3) = 0,27
Ser nu att du redan har fått rätt svar här. Det gäller ju att
$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (2 - \sqrt{3})}{3 - 1} = \frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.2679 .$

Så sammanfattningsvis så gör man alltså följande:

Först bestämmer man den vågräta katetern för den stora triangeln som går från kubens hörn till mitten på sidan genom pythagoras sats:

a = sqrt(1^2 +1^2) = sqrt(2)

Sedan så bestämmer man hypotenusan c med hjälp av den vågräta katetern a och den lodräta katetern R enligt pythagoras sats:

R + 2r + x = sqrt(2 + 1^2) = sqrt(3) <=> x = sqrt(3) - R - 2r

Därefter krävs det en annan ekvation som innehåller r och x, nämligen likformigheten mellan den stora och lilla triangeln:

(R + 2r + x)/R = (r + x)/r och R = 1 => sqrt(3)= (r + sqrt(3) - 1 - 2r)/r <=> r = (sqrt(3) - 1)/(sqrt(3) + 1) = 2 - sqrt(3) (vid förlängning med konjugatet till sqrt(3) - 1)

Stämmer det?

En annan fråga: Temat på denna uppgift är egentligen integraler och derivator. Hur kan man använda dessa (eller åtminstone integraler) för att lösa uppgiften?

Ja, jag tycker att det ser bra ut nu.

Till din andra fråga: Jag finner det svårt att räkna ut en sträcka med integraler. Integraler brukar användas till ytor och rotationsvolymer. Men vad vet jag, någon annan kanske kan ge dig ett bättre svar.

Lirim.K skrev :
Ja, jag tycker att det ser bra ut nu.
Till din andra fråga: Jag finner det svårt att räkna ut en sträcka med integraler. Integraler brukar användas till ytor och rotationsvolymer. Men vad vet jag, någon annan kanske kan ge dig ett bättre svar.

Kan man använda derivata då?

Varken integral eller derivata kommer till användning. Metoden med oändlig serie tycks bli enklast och funkar lika bra i motsvarade tvådimensionella problem. Där blir alltså r=(sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1).

Henrik Eriksson skrev :
Varken integral eller derivata kommer till användning. Metoden med oändlig serie tycks bli enklast och funkar lika bra i motsvarade tvådimensionella problem. Där blir alltså r=(sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1).

1. Ber om ursäkt för att jag frågar ännu en gång. Men jag förstår fortfarande inte det där med oändligt många bollar från den blåa bollen till hörnet? Hur använder man det och hur beräknar man sträckan x med hjälp av bollarna med hjälp av de oändliga bollarna?

2. Men det rätta svaret är ju (sqrt(3) - 1)/(sqrt(3) + 1) och inte (sqrt(2) - 1)/(sqrt(2) + 1) alltså är ditt sätt inte rätt?

Om man löser samma uppgift med cirklar i en kvadrat blir det som jag skrev. Sträckan x är det ingen som frågar efter. Bollarnas radier blir 1,r,r^2,r^3,...så sqrt(3)=1+2r+2r^2+2r^3+...

Henrik Eriksson skrev :
Om man löser samma uppgift med cirklar i en kvadrat blir det som jag skrev. Sträckan x är det ingen som frågar efter. Bollarnas radier blir 1,r,r^2,r^3,...så sqrt(3)=1+2r+2r^2+2r^3+...

men detta är ju ingen fullständig geometrisk summa, kan man då skriva det som:

sqrt(3) = 1 + 2r * ((r^n - 1)/(r - 1)) ?

Bättre än så! Den är oändlig och r^n kan alltså bytas mot 0.

Henrik Eriksson skrev :
Om man löser samma uppgift med cirklar i en kvadrat blir det som jag skrev. Sträckan x är det ingen som frågar efter. Bollarnas radier blir 1,r,r^2,r^3,...så sqrt(3)=1+2r+2r^2+2r^3+...

Ursäkta att jag frågar en gång till, men jag förstår fortfarande inte hur du kom fram till att de oändliga cirklarna verkligen följer en geometrisk talföljd med kvoten r? Bara för att vi vet att den ljusröda bollen har radien 1 och den blå bollen har radien r så måste väl det inte betyda att nästa cirkel har radien r^2?

Om den stora bollen haft radien 2 skulle den lilla ha haft radien 2r, det inser du säkert. På samma sätt, om den stora haft radien r hade den lilla haft radien r^2. Förhållandet mellan liten och stor radie är ju alltid r. Det kallas likformighet.

Henrik Eriksson skrev :
Om den stora bollen haft radien 2 skulle den lilla ha haft radien 2r, det inser du säkert. På samma sätt, om den stora haft radien r hade den lilla haft radien r^2. Förhållandet mellan liten och stor radie är ju alltid r. Det kallas likformighet.

1. Men hur vet man att den ljusröda och blåa bollen verkligen är två likformiga klot?

2. Varför måste likformigheten mellan de innebära att man multiplicerar just r för att få fram någon av de andra oändliga bollarna?

Alla klot är förstås likformiga men här gäller det hela figuren. Titta på den fina figuren. I den står det inte vad stora bollens radie är. Den kanske är 10. Figuren ser likadan ut oavsett skalan. Det är det som är likformighet. Är du med på att om stora radien varit 10 hade lilla radien varit 10r?

Henrik Eriksson skrev :
Alla klot är förstås likformiga men här gäller det hela figuren. Titta på den fina figuren. I den står det inte vad stora bollens radie är. Den kanske är 10. Figuren ser likadan ut oavsett skalan. Det är det som är likformighet. Är du med på att om stora radien varit 10 hade lilla radien varit 10r?

1. Om jag har förstått rätt så är alltså alla klot/cirklar likformiga med varandra eftersom deras areor/volym ökar/minskar proportionellt med en konstant. Är det samma sak med kvadrater/kuber?

2. Jag förstår inte varför proportionalitetskonstanten är just r bara för att den ljusröda bollen har radien 1 och den blåa bollen har radien r så kan jag inte se att nästa boll måste ha radien r^2

Det har inte med area eller volym att göra utan bara att skalan ändras. Är du med på att figuren ser likadan ut oavsett vilken skalan är? Du har räkna med stora radien 1 meter och då blir lilla radien r meter. Om stora radien är 10 dm blir alltså lilla radien 10r dm. Vilken måttenhet man än använder blir lilla radien r gånger stora radien. Om alltså stora radien är r blir lilla radien r^2.

Henrik Eriksson skrev :
Det har inte med area eller volym att göra utan bara att skalan ändras. Är du med på att figuren ser likadan ut oavsett vilken skalan är? Du har räkna med stora radien 1 meter och då blir lilla radien r meter. Om stora radien är 10 dm blir alltså lilla radien 10r dm. Vilken måttenhet man än använder blir lilla radien r gånger stora radien. Om alltså stora radien är r blir lilla radien r^2.

1. Hur vet man att bilden har inte blandat två skalor med varandra eller att bilden är ej skalenlig helt enkelt?

2. Jag kan heller inte veta att om den stora radien var 10 l.e. så blir den lilla radien 10r l.e. ?

Inte skalenlig? Ett klot är ett klot även om det skulle se tillplattat ut på figuren.

Jo, att 1 m är detsamma som 10 dm vet du.

Henrik Eriksson skrev :
Inte skalenlig? Ett klot är ett klot även om det skulle se tillplattat ut på figuren.
Jo, att 1 m är detsamma som 10 dm vet du.

Men jag ser fortfarande inte varför radierna måste följa just 1, r, ..., r^(n-1)

Lirim.K skrev :
Ja, jag tycker att det ser bra ut nu.
Till din andra fråga: Jag finner det svårt att räkna ut en sträcka med integraler. Integraler brukar användas till ytor och rotationsvolymer. Men vad vet jag, någon annan kanske kan ge dig ett bättre svar.

Jag håller på med att försöka lösa uppgiften med hjälp av integraler (se bilden nedan) genom att omvandla den stora cirkelns nedre halva till en andragradare vilket gick enligt min första beräkning, däremot har jag svårt att hitta en tredje ekvation för att bestämma den lilla cirkelns övre båge som en andragradare:

Din figur visar cirklar i en kvadrat, inte klot i en kub.

Du skrev förut att du inte förstår att om stora radien är 10 så är lilla 10r. Jag påpekade då att det ju blir så om man räknar i dm i stället för i meter. Då tror jag att du är med på det nu. Om stora radien är 100 så är lilla 100r. Om stora är 17 så är lilla 17r. Om stora är r så är lilla r^2. Om stora är r^2 så är lilla r^3 osv.

Henrik Eriksson skrev :
Din figur visar cirklar i en kvadrat, inte klot i en kub.
Du skrev förut att du inte förstår att om stora radien är 10 så är lilla 10r. Jag påpekade då att det ju blir så om man räknar i dm i stället för i meter. Då tror jag att du är med på det nu. Om stora radien är 100 så är lilla 100r. Om stora är 17 så är lilla 17r. Om stora är r så är lilla r^2. Om stora är r^2 så är lilla r^3 osv.

Men uppgiftens tema är integraler och derivator. Därför skulle jag verkligen uppskatta om jag kunde få respons på mitt påbörjade sätt i 2D för att beräkna den lilla cirkelns area och på så sätt få fram radien?

Ditt påbörjade sätt har ingenting med vare sej integraler eller derivator att göra. Du har nog missuppfattat att det skulle vara uppgiftens tema.

Henrik Eriksson skrev :
Ditt påbörjade sätt har ingenting med vare sej integraler eller derivator att göra. Du har nog missuppfattat att det skulle vara uppgiftens tema.

Jag försöker få funktioner som jag sedan kan integrera och på så sätt få arean mellan den lilla och den stora bollen, dock vet jag inte om man kan omvandla cirkelhalvor till andragradsfunktioner som sedan integreras? Om inte hur ska man då lösa uppgiften med hjälp av integraler och derivator?

Förstår du mina tankar?

Uppgiften har inget med areor eller volymer att göra. Den ska inte lösas med integraler eller derivator. Varför har du fått för dej det?

Henrik Eriksson skrev :
Uppgiften har inget med areor eller volymer att göra. Den ska inte lösas med integraler eller derivator. Varför har du fått för dej det?

Det var vad läraren sa och man borde väl kunna beräkna arean mellan den lilla och den stora bollen i 2D om man ritar ett koordinatsystem, men frågan är bara hur jag kan hitta en gemensam derivata i punkten där bollarna tangerar varandra för att få integrationsgränserna?

Nu tror jag att du driver med mej. Slutdiskuterat för min del.

Henrik Eriksson skrev :
Nu tror jag att du driver med mej. Slutdiskuterat för min del.

Tro mig jag skulle inte ägna hela min tid för att komma på hur jag ska lösa en uppgift för att skoja med någon. Jag tar aldrig mina studier på skoj

Det är bra att du inte tar studierna på skoj men det vore ännu bättre om du tog mej på allvar. När jag skriver att uppgiften inte ska eller kan lösas med integraler eller derivator så bör du tro på det.

Henrik Eriksson skrev :
Det är bra att du inte tar studierna på skoj men det vore ännu bättre om du tog mej på allvar. När jag skriver att uppgiften inte ska eller kan lösas med integraler eller derivator så bör du tro på det.

Men jag känner mig nära på att göra det, om jag bara kunde få två cirklars ekvationer att tangera med varandra (ha samma derivata) i en viss punkt (som jag vill räkna ut för att använda som en av mina integrationsgränser när jag beräknar arean av de tre tomma rummen mellan mellan hörnet, lilla och stora cirkeln, tänker nu i 2D för att få sedan fram radien, det behövs ingen 3D figur till det) då jag känner till den sammanlagda arean av de tre tomma rummen och den lilla cirkeln så får jag arean av den lilla cirkeln genom att subtrahera den sammanlagda arean av de tre tomma rummen och den lilla cirkeln med var och ett av de tre tomma rummen (med hjälp av integraler där man vet vilka funktioner och integrationsgränser man ska använda). Därefter blir det enkelt att lösa ut radien av den lilla cirkeln när man vet vad arean är.

Det kanske inte är en bra idé att ge sig in i den här diskussionen nu, men jag gör det ändå. Svar har du redan fått. (Derivator och integraler hjälper inte här vad jag kan se.)

Jag hjälpte någon med det här problemet på mattebokens forum i höstas, men han ville inte ha hjälp hela vägen så det finns ingen lösning i den här tråden:

http://forum.matteboken.se/?g=posts&t=25658

Jag började med en rejäl omväg med att infoga koordinatsystem och annat, men om man är med på att diagonalen i en kub är (roten ur 3) gånger sidlängden så trillar lösningen ut nästan direkt.

Stora sfären har radie R och lilla har radie r.

Kubens halva diagonal är då

$\sqrt{3} R$

Men den är också summan (stora sfärens radie) + (lilla sfärens radie) + (diagonalen i en kub med sida r), så

$\sqrt{3} R = R + r + \sqrt{3} r$

så

$r = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} R = (2 - \sqrt{3}) R$

Dr. G skrev :
(Derivator och integraler hjälper inte här vad jag kan se.)

1. Varför inte? Jag fick aldrig svar på varför integraler och derivata inte skulle fungera i detta fall vilket jag försökte fråga GÅNG PÅ GÅNG utan att få svar på!

2. Jag försöker få funktioner som jag sedan kan integrera och på så sätt få arean mellan den lilla och den stora bollen, dock vet jag inte om man kan omvandla cirkelhalvor till andragradsfunktioner som sedan integreras?

3. Kan du hjälpa mig med det jag har påbörjat:

Hur får jag två cirklars ekvationer att tangera med varandra (ha samma derivata) i en viss punkt (som jag vill räkna ut för att använda som en av mina integrationsgränser när jag beräknar arean av de tre tomma rummen mellan mellan hörnet, lilla och stora cirkeln, tänker nu i 2D för att få sedan fram radien, det behövs ingen 3D figur till det) då jag känner till den sammanlagda arean av de tre tomma rummen och den lilla cirkeln så får jag arean av den lilla cirkeln genom att subtrahera den sammanlagda arean av de tre tomma rummen och den lilla cirkeln med var och ett av de tre tomma rummen (med hjälp av integraler där man vet vilka funktioner och integrationsgränser man ska använda). Därefter blir det enkelt att lösa ut radien av den lilla cirkeln när man vet vad arean är.

Dr. G skrev :
Men den är också summan (stora sfärens radie) + (lilla sfärens radie) + (diagonalen i en kub med sida r), så
$\sqrt{3} R = R + r + \sqrt{3} r$
så
$r = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} R = (2 - \sqrt{3}) R$

Menar du att diagonalen r + x (där r är radien och x är den okända sträckan från hörnet till den lilla bollen) ger en kub med sidan r, eftersom kubens sida är lika med den lilla cirkelns radie i detta fall) är likamed sqrt(r^2 + r^2 + r^2) enligt 2 ggr pythagoras sats?

Hur härleder man att diagonalen i en kub är sqrt(3r^2)?

Kombinatorik skrev :
Hur härleder man att diagonalen i en kub är sqrt(3r^2)?

Om kubens kantlängd är r så är diagonalen över bottenytan $\sqrt{r^{2} + r^{2}} = r \sqrt{2}$ enligt Pythagoras sats.

Titta nu på den rätvinkliga triangel som bildas av bottenytans diagonal och kubens höjd längs med en kant.

Denna triangels hypotenusa är lika med kubens rymddiagonal och kan med hjälp av Pythagoras sats enkelt räknas ut som $\sqrt{{(r \sqrt{2})}^{2} + r^{2}} = \sqrt{2 r^{2} + r^{2}} = \sqrt{3 r^{2}} = r \sqrt{3}$

Yngve skrev :
Kombinatorik skrev :
Hur härleder man att diagonalen i en kub är sqrt(3r^2)?
Om kubens kantlängd är r så är diagonalen över bottenytan $\sqrt{r^{2} + r^{2}} = r \sqrt{2}$ enligt Pythagoras sats.
Titta nu på den rätvinkliga triangel som bildas av bottenytans diagonal och kubens höjd längs med en kant.
Denna triangels hypotenusa är lika med kubens rymddiagonal och kan med hjälp av Pythagoras sats enkelt räknas ut som $\sqrt{{(r \sqrt{2})}^{2} + r^{2}} = \sqrt{2 r^{2} + r^{2}} = \sqrt{3 r^{2}} = r \sqrt{3}$

Vad menas med rymddiagonal?

Kombinatorik skrev :

Vad menas med rymddiagonal?

Diagonalen från ett av kubens hörn till det hörn som ligger längst bort kallas för rymddiagonal.

Rymddiagonalen går alltså genom kubens mittpunkt.

Yngve skrev :
Kombinatorik skrev :
Yngve skrev :
Kombinatorik skrev :
Hur härleder man att diagonalen i en kub är sqrt(3r^2)?
Om kubens kantlängd är r så är diagonalen över bottenytan r2+r2 = r2 enligt Pythagoras sats.
Titta nu på den rätvinkliga triangel som bildas av bottenytans diagonal och kubens höjd längs med en kant.
Denna triangels hypotenusa är lika med kubens rymddiagonal och kan med hjälp av Pythagoras sats enkelt räknas ut som r22 + r2 = 2r2 + r2 = 3r2 = r3
Vad menas med rymddiagonal?
Diagonalen från ett av kubens hörn till det hörn som ligger längst bort kallas för rymddiagonal.

Aha, tack för förklaringen! Men kan du förklara för:

1. Varför kan man inte använda integraler och derivata för att lösa uppgiften? Jag har ju påbörjat försök att få fram funktioner men behöver då få respons på dessa två punkter (jag har prov övermorgon, so time is by essence):

2. Jag försöker få funktioner som jag sedan kan integrera och på så sätt få arean mellan den lilla och den stora bollen, dock vet jag inte om man kan omvandla cirkelhalvor till andragradsfunktioner som sedan integreras?

3. Kan du hjälpa mig med det jag har påbörjat:
Hur får jag två cirklars ekvationer att tangera med varandra (ha samma derivata) i en viss punkt (som jag vill räkna ut för att använda som en av mina integrationsgränser när jag beräknar arean av de tre tomma rummen mellan mellan hörnet, lilla och stora cirkeln, tänker nu i 2D för att få sedan fram radien, det behövs ingen 3D figur till det) då jag känner till den sammanlagda arean av de tre tomma rummen och den lilla cirkeln så får jag arean av den lilla cirkeln genom att subtrahera den sammanlagda arean av de tre tomma rummen och den lilla cirkeln med var och ett av de tre tomma rummen (med hjälp av integraler där man vet vilka funktioner och integrationsgränser man ska använda). Därefter blir det enkelt att lösa ut radien av den lilla cirkeln när man vet vad arean är.

Vilken nivå läser du på?

Jag antar att man skulle kunna använda en linjeintegral för att beräkna de sökta längderna, men som så många redan har sagt här, varför krångla till det?

Jag tycker du ska ta upp detta med din lärare, beskriva hur du vill lösa problemet och fråga om det verkligen är meningen att man ska använda integraler och derivator för att lösa problemet.

Det kan ju vara så att det hela är ett missförstånd.

Yngve skrev :
Vilken nivå läser du på?
Jag antar att man skulle kunna använda en linjeintegral för att beräkna de sökta längderna, men som så många redan har sagt här, varför krångla till det?
Jag tycker du ska ta upp detta med din lärare, beskriva hur du vill lösa problemet och fråga om det verkligen är meningen att man ska använda integraler och derivator för att lösa problemet.
Det kan ju vara så att det hela är ett missförstånd.

Jag läser matematik 5 och min lärare sa att denna uppgift ska vara en fördjupning av integraler och derivator. Hur lyder linjeintegral? Hur löser man uppgiften med denna integral och varför kan man inte lösa det på mitt sätt ovan?

Kan man inte tänka att cirkelhalvorna är som två andragradsfunktioner?

Cirkelbågarnas är en typ av andragradsfunktioner (men de är inte parabler). Du kan skriva ut deras ekvationer och formulera arenorna som ett antal integraler, men jag är rätt säker på att du inte kommer fram till en lösning.

Om du skulle beräkna arenorna av områdena mellan stora cirkeln och kvadraten som en summa av ett antal integraler så skulle du få att den totala arean är (1 - pi/4)*R^2. Den lilla cirkelns radie trillar inte ut, då både cirkelns area och omkringliggande områdens areor beror på r. Man kan (lite fyndigt) säga att det blir ett cirkelresonemang.

Dr. G skrev :
Cirkelbågarnas är en typ av andragradsfunktioner (men de är inte parabler). Du kan skriva ut deras ekvationer och formulera arenorna som ett antal integraler, men jag är rätt säker på att du inte kommer fram till en lösning.

Det jag vet är att alla andragradare är parablar??

Om du skulle beräkna arenorna av områdena mellan stora cirkeln och kvadraten som en summa av ett antal integraler så skulle du få att den totala arean är (1 - pi/4)*R^2. Den lilla cirkelns radie trillar inte ut, då både cirkelns area och omkringliggande områdens areor beror på r. Man kan (lite fyndigt) säga att det blir ett cirkelresonemang.

Men borde inte radien r trilla om man vet att cirkeln måste tangera den stora cirkeln vid en specifik punkt?

Det beror på vad man menar med andragradare. Vet du hur man skriver ekvationen för en cirkel?

Den lilla cirkelns radie går att få ut från tangeringspunkterna med stora cirkeln och med kvadratens sidor. För detta tillför inte integraler någonting vad jag kan se.

Dr. G skrev :
Det beror på vad man menar med andragradare. Vet du hur man skriver ekvationen för en cirkel?
Den lilla cirkelns radie går att få ut från tangeringspunkterna med stora cirkeln och med kvadratens sidor. För detta tillför inte integraler någonting vad jag kan se.

Jag vet bara cirkelns ekvation för den stora cirkeln men hur kan man få fram den lilla cirkelns radie med hjälp av den stora cirkelns ekvation?

Nej, parabeln är bara en av typerna av kägelsnitt - de är andragradsfunktioner allihop.