Kth och chalmers matematik och fysikprov

Att hitta lokala minima för en två gånger deriverbara funktion är detsamma som att hitta tal $x_0$ sådana att $f'(x_0) = 0$ där $f''(x_0) > 0$

Då vi redan har andraderivatan och således kan göra det andra testet behöver vid finna talen $x_0$ sådana att $f'(x_0) = 0$ . För detta syfte kan vi finna $f'(x)$ explicit genom att ta fram den primitiva funktionen till $f''(x)$.

Här behöver så vitt jag minns några fler standardprimitiver än de som står i formelbladet i gymnasiet men det är relativt enkellt att kontrollera och i långa loppet minnas att $(\tan(x))' = 1/\cos^2(x)$ och $(1/\tan(x))' = -1/\sin^2(x)$.

Från dessa kan vi bestämma $f'(x)$ sånär som på en konstant $C$ (integrationskonstanten) som bestäms genom att plugga in $f'(\pi/4) = -2$. (Trigonometriska funktioner är enkla att utvärdera i rationella andelar av pi).

Finn sedan denna funktions nollställen inom intervallet och applicera andraderivatatestet för att se om de är max/min-punkter.

Tack för snabbt och utförligt svar SeriousCephalopod.

Finns det något generellt sätt man kan få fram den primitiva funktionen av olika trigonometriska funktioner. T. ex hur skulle man få fram den primitiva funktionen till

(Sin(x))^-3 , (cos(x))^7 eller (tan(x))^-9 finns det någon formel man kan använda sig av för att få fram den primitiva funktionen för dessa?

Tack på förhand.

Det finns en förhållandevis genrell metod för att ta fram primitiva funktioner till en klass av funktioner som kan kallas rationella funktioner av trigonometriska funktioner, men den metoden är rätt så seg att faktiskt utföra att i alla fall jag föredrar snabba tricklösningar som endast fungerar i vissa

Du vet att en rationell funktion är en kvot av två polynom såsom $r(x) = (x^2 + 1)/(x^3 + 2x)$ och en rationell funktion av trigonometriska funktioner är en kvot av två "trigonometriska polynom" dvs funktioner som är summor av potenser av trigonometriska funktioner såsom $(\cos^2(x) + \sin(x))/(\sin^3 x - 3\cos(x) + 1)$

Sådana funktioner kan angripas via en variabelsubstitution som kallas för "tangens halva-substitutionen" som omvandlar sådana problem till att hitta primitiver till rationella funktioner dvs att den trigonometriska aspekten försvinner.

Att förklara tekniken är lite uttdraget men förekommer i Perssons Böiers Envariabelanalys någonstans i första kapitlen samt skisseras i https://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_half-angle_substitution

Du kanske har märkt att flera av matematik-proven har problem som involverar $\tan(x/2)$. Denna substitution kan förmodas vara varför man vill memorera de mönstren.

Jag skulle dock som sagt inte rekommendera att lösa ett problem med denna metod om man faktiskt är under tidspress då den tar mycket mycket längre tid att implementera än att memorera vissa specialfall såsom detta där funktionerna var derivator till tangens.

EDIT: Kasserar mitt inlägg då alla latex-delar försvann.

Hur ska man få fram den primitiva funktionen till 1/sinx med substitutionsmetoden? Jag lyckas ställa upp  

 ∫sinx =  ∫(((t^2+1)/(1-t^2))^2*2/(1+t^2))dt = ∫(2(t^2+1)/(1-t^2)^2)dt

men hur fortsätter jag för att få fram den primitiva funktionen?

Tack på förhand.

Jag kan löpa igenom lösningen men just nu ser det ut som att du utfört själva substitutionen fel (iaf om det var tan(x/2) substitutionen så kan du dubbelkolla det först?

Oj, jag måste ha varit lite snurrig när jag skrev mitt senaste inlägg. Stämmer lösningen? I såna fall förstår jag nog hur man ska använda substitutionsmetoden.$$\begin{gathered} \int \frac{1}{{\sin }^2\left(x\right)}dx=\int \left(\right(\frac{1+t^2}{2t}{)}^2\left(\frac{2}{1+t^2}\right)dt=\int \left(\frac{2+2t^2}{4t^2}\right)dt=\int (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times t^{-2})dt= \\ =\frac{t}{2}-\frac{1}{2t}+C=\frac{\tan \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}{2}-\frac{1}{2\tan \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}+C=\frac{\tan \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}{2}-\frac{1}{2}\times cot\left(\frac{x}{2}\right)+C \end{gathered}$$

Hur ska man gå till väga för att få fram den primitiva funktionen till 1/(cos(x))^3? Jag lyckas inte få fram den när jag använder substitutionsmetoden.

SeriousCephalopod skrev :

Att hitta lokala minima för en två gånger deriverbara funktion är detsamma som att hitta tal $x_0$ sådana att $f'(x_0) = 0$ där $f''(x_0) > 0$

Notera att detta inte är riktigt korrekt, om vi hittar en sådan punkt så är den ett lokalt minima, men det finns även andra lokala minima, se t.ex. y=x^4 som har ett lokalt minima i 0 trots att andraderivatan inte är positiv där.

Johanspeed skrev :

Hur ska man gå till väga för att få fram den primitiva funktionen till 1/(cos(x))^3? Jag lyckas inte få fram den när jag använder substitutionsmetoden.

Jag skulle bara köra på tan-halva-substitutionen igen.

$\int \frac{1}{\cos^3(x)}dx = \int \frac{(1 + t^2)^3}{(1 - t^2)^3}\frac{2}{1 + t^2}dt = \int \frac{2(1 + t^2)^2}{(1 + t)^3(1 - t)^3} dt$

och sedan partialbråksuppdela. Inte världens mest eleganta lösning men kommer att fungera.

SeriousCephalopod skrev:

Att hitta lokala minima för en två gånger deriverbara funktion är detsamma som att hitta tal $x_0$ sådana att $f'(x_0) = 0$ där $f''(x_0) > 0$

Då vi redan har andraderivatan och således kan göra det andra testet behöver vid finna talen $x_0$ sådana att $f'(x_0) = 0$ . För detta syfte kan vi finna $f'(x)$ explicit genom att ta fram den primitiva funktionen till $f''(x)$.

Här behöver så vitt jag minns några fler standardprimitiver än de som står i formelbladet i gymnasiet men det är relativt enkellt att kontrollera och i långa loppet minnas att $(\tan(x))' = 1/\cos^2(x)$ och $(1/\tan(x))' = -1/\sin^2(x)$.

Från dessa kan vi bestämma $f'(x)$ sånär som på en konstant $C$ (integrationskonstanten) som bestäms genom att plugga in $f'(\pi/4) = -2$. (Trigonometriska funktioner är enkla att utvärdera i rationella andelar av pi).

Finn sedan denna funktions nollställen inom intervallet och applicera andraderivatatestet för att se om de är max/min-punkter.

Jag får ekvationen tanx-3/tanx=0.

Hur kan man faktorisera det här så att man får faktorer där vardera faktor's nollvärde är lösningar till ekvationen?

Tack på förhand!