11 svar

234 visningar

Kryssprodukt

bestäm alla vektorer (x) som satisfierar

(1,1,-1)×x=(1,2,3)Jag kommer inte vidare då ekvationssystemet saknar lösningar.

x1 = 0

x2 = 3

x3 = -2

Men det verkar vara fel på den andra ekvationen som borde vara x3 + x1 = -2.

PATENTERAMERA skrev:
x1 = 0
x2 = 3
x3 = -2
Men det verkar vara fel på den andra ekvationen som borde vara x3 + x1 = -2.

Men hur löste du ekv.sys. därefter då?

Soderstrom skrev:
PATENTERAMERA skrev:
x1 = 0
x2 = 3
x3 = -2
Men det verkar vara fel på den andra ekvationen som borde vara x3 + x1 = -2.
Men hur löste du ekv.sys. därefter då?

OBS ekvationsystemet du satt upp var fel. Du måste sätta upp rätt ekvationsystem och lösa det. Ledning: du kommer få oändligt många lösningar.

PATENTERAMERA skrev:
Soderstrom skrev:
PATENTERAMERA skrev:
x1 = 0
x2 = 3
x3 = -2
Men det verkar vara fel på den andra ekvationen som borde vara x3 + x1 = -2.
Men hur löste du ekv.sys. därefter då?
OBS ekvationsystemet du satt upp var fel. Du måste sätta upp rätt ekvationsystem och lösa det. Ledning: du kommer få oändligt många lösningar.

Hur får du att det är oändligt med lösningar?

Soderstrom skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Soderstrom skrev:
PATENTERAMERA skrev:
x1 = 0
x2 = 3
x3 = -2
Men det verkar vara fel på den andra ekvationen som borde vara x3 + x1 = -2.
Men hur löste du ekv.sys. därefter då?
OBS ekvationsystemet du satt upp var fel. Du måste sätta upp rätt ekvationsystem och lösa det. Ledning: du kommer få oändligt många lösningar.
Hur får du att det är oändligt med lösningar?

Genom att lösa det korrekta ekvationssystemet, gissar jag. Eller genom att visualisera vad ekvationen betyder.

Soderstrom skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Soderstrom skrev:
PATENTERAMERA skrev:
x1 = 0
x2 = 3
x3 = -2
Men det verkar vara fel på den andra ekvationen som borde vara x3 + x1 = -2.
Men hur löste du ekv.sys. därefter då?
OBS ekvationsystemet du satt upp var fel. Du måste sätta upp rätt ekvationsystem och lösa det. Ledning: du kommer få oändligt många lösningar.
Hur får du att det är oändligt med lösningar?

Du har systemet

x3 + x2 = 1

x3 + x1 = -2

x2 - x1 = 3,

det är "bara" att lösa.

Man får då

$(\begin{matrix} x 1 \\ x 2 \\ x 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ - 2 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}), d ä r λ ä r e t t g o d t y c k l i g t r e e l l t t a l .$

Således har vi oändligt många lösningar, dvs en lösning för varje val av $λ$ .

Försök att ge en geometrisk tolkning av resulatet.

PATENTERAMERA skrev:
Soderstrom skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Soderstrom skrev:
PATENTERAMERA skrev:
x1 = 0
x2 = 3
x3 = -2
Men det verkar vara fel på den andra ekvationen som borde vara x3 + x1 = -2.
Men hur löste du ekv.sys. därefter då?
OBS ekvationsystemet du satt upp var fel. Du måste sätta upp rätt ekvationsystem och lösa det. Ledning: du kommer få oändligt många lösningar.
Hur får du att det är oändligt med lösningar?
Du har systemet
x3 + x2 = 1
x3 + x1 = -2
x2 - x1 = 3,
det är "bara" att lösa.
Man får då
$(\begin{matrix} x 1 \\ x 2 \\ x 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ - 2 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}), d ä r λ ä r e t t g o d t y c k l i g t r e e l l t t a l .$
Således har vi oändligt många lösningar, dvs en lösning för varje val av $λ$ .
Försök att ge en geometrisk tolkning av resulatet.

Kan du förklara allt mellan () i alla 3?

Soderstrom skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Soderstrom skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Soderstrom skrev:
PATENTERAMERA skrev:
x1 = 0
x2 = 3
x3 = -2
Men det verkar vara fel på den andra ekvationen som borde vara x3 + x1 = -2.
Men hur löste du ekv.sys. därefter då?
OBS ekvationsystemet du satt upp var fel. Du måste sätta upp rätt ekvationsystem och lösa det. Ledning: du kommer få oändligt många lösningar.
Hur får du att det är oändligt med lösningar?
Du har systemet
x3 + x2 = 1
x3 + x1 = -2
x2 - x1 = 3,
det är "bara" att lösa.
Man får då
$(\begin{matrix} x 1 \\ x 2 \\ x 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ - 2 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}), d ä r λ ä r e t t g o d t y c k l i g t r e e l l t t a l .$
Således har vi oändligt många lösningar, dvs en lösning för varje val av $λ$ .
Försök att ge en geometrisk tolkning av resulatet.
Kan du förklara allt mellan () i alla 3?

De är vektorer. Likheten och additionen ska läsas rad för rad, alltså $x_1 = 0 + \lambda\cdot 1$ , $x_2 = 3 + \lambda\cdot 1$ , $x_3 = -2 + \lambda\cdot (-1)$ .

Laguna skrev:
Soderstrom skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Soderstrom skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Soderstrom skrev:
PATENTERAMERA skrev:
x1 = 0
x2 = 3
x3 = -2
Men det verkar vara fel på den andra ekvationen som borde vara x3 + x1 = -2.
Men hur löste du ekv.sys. därefter då?
OBS ekvationsystemet du satt upp var fel. Du måste sätta upp rätt ekvationsystem och lösa det. Ledning: du kommer få oändligt många lösningar.
Hur får du att det är oändligt med lösningar?
Du har systemet
x3 + x2 = 1
x3 + x1 = -2
x2 - x1 = 3,
det är "bara" att lösa.
Man får då
$(\begin{matrix} x 1 \\ x 2 \\ x 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ - 2 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}), d ä r λ ä r e t t g o d t y c k l i g t r e e l l t t a l .$
Således har vi oändligt många lösningar, dvs en lösning för varje val av $λ$ .
Försök att ge en geometrisk tolkning av resulatet.
Kan du förklara allt mellan () i alla 3?
De är vektorer. Likheten och additionen ska läsas rad för rad, alltså $x_1 = 0 + \lambda\cdot 1$ , $x_2 = 3 + \lambda\cdot 1$ , $x_3 = -2 + \lambda\cdot (-1)$ .

Finns det ett annat sätt? Jag tror inte att vi gick igenom det där.

Alltså det är samma sak som att skriva

$\vec{x} =$ (x1, x2, x3) = (0, 3 , -2) + $λ$ (1, 1, -1), $λ \in ℝ$ .

Vi har bara slutfört den beräkning som du själv påbörjade.

Det finns andra sätt att tänka.

Tänk att vi vill lösa ekvationen

$\vec{a} \times \vec{x} =$ $\vec{b}$ .

Eftersom vänsterledet är linjärt i $\vec{x}$ så kan vi lösa den på samma sätt som man ibland löser linjära differentialekvationer, dvs genom att fina den homogena lösningen och en partikulärlösning.

Dvs hitta först den allmänna lösningen till

$\vec{a} \times \vec{x} = 0$ , (1)

och hitta sedan någon lösning $\vec{x}$ till ekvationen

$\vec{a} \times \vec{x} = \vec{b}$ . (2)

Den allmänna lösningen är summan av dessa lösningar.

Lösningen till den homogena ekvationen är enkel; det är helt enkelt alla vektorer som är parallella med $\vec{a}$ . Dvs alla vektorer på formen $λ \vec{a}$ , $λ \in ℝ$ . Känns den igen?

Tror du att du kan hitta någon partikulärlösning?

PATENTERAMERA skrev:
Alltså det är samma sak som att skriva
$\vec{x} =$ (x1, x2, x3) = (0, 3 , -2) + $λ$ (1, 1, -1), $λ \in ℝ$ .
Vi har bara slutfört den beräkning som du själv påbörjade.
Det finns andra sätt att tänka.
Tänk att vi vill lösa ekvationen
$\vec{a} \times \vec{x} =$ $\vec{b}$ .
Eftersom vänsterledet är linjärt i $\vec{x}$ så kan vi lösa den på samma sätt som man ibland löser linjära differentialekvationer, dvs genom att fina den homogena lösningen och en partikulärlösning.
Dvs hitta först den allmänna lösningen till
$\vec{a} \times \vec{x} = 0$ , (1)
och hitta sedan någon lösning $\vec{x}$ till ekvationen
$\vec{a} \times \vec{x} = \vec{b}$ . (2)
Den allmänna lösningen är summan av dessa lösningar.
Lösningen till den homogena ekvationen är enkel; det är helt enkelt alla vektorer som är parallella med $\vec{a}$ . Dvs alla vektorer på formen $λ \vec{a}$ , $λ \in ℝ$ . Känns den igen?
Tror du att du kan hitta någon partikulärlösning?

För hitta en partikulärlösning så kryssar vi vänster- och högerled med $\vec{a}$

$\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{x})$ = $\vec{a} \times \vec{b}$ , baccabregeln ger oss

$\vec{a} (\vec{a} ∙ \vec{x}) - \vec{x} (\vec{a} ∙ \vec{a}) = \vec{a} \times \vec{b}$

Eftersom vi bara vill hitta någon lösning så kan vi välja att försöka hitta en lösning som är ortogonal med $\vec{a}$ , dvs sådan att $\vec{a} ∙ \vec{x} = 0$ .

Vi får då

$\vec{x} = \frac{\vec{b} \times \vec{a}}{\vec{a} ∙ \vec{a}}$ .

Vi bör dubbelkolla att detta är en lösning

$\frac{\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a})}{\vec{a} ∙ \vec{a}} = \frac{\vec{b} (\vec{a} ∙ \vec{a}) - \vec{a} (\vec{a} ∙ \vec{b})}{\vec{a} ∙ \vec{a}} = \vec{b} - \frac{\vec{a} (\vec{a} ∙ \vec{b})}{\vec{a} ∙ \vec{a}}$ .

Hm, tydligen har vi ett ytterligare krav att $\vec{a} ∙ \vec{b} = 0$ för att det faktiskt skall bli en lösning.

Men detta är självklart om vi betänker att $\vec{a} \times \vec{x}$ alltid är ortogonal mot $\vec{a}$ och därför måste $\vec{b}$ vara ortogonal mot $\vec{a}$ för att ekvationen $\vec{a} \times \vec{x} = \vec{b}$ överhuvudtaget skall ha någon lösning.

Således kan vi sammanfatta den allmänna lösningen som

$\vec{x} = \frac{\vec{b} \times \vec{a}}{\vec{a} ∙ \vec{a}} + λ \vec{a}, λ \in ℝ, g i v e t a t t \vec{a} ∙ \vec{b} = 0 .$

Svara

Visa senaste svar