.jpg?width=80&crop=0,0,80,80)
Kryss produkt funderingar
Hejsan, jag har testat lite med kryssprodukter i tre dimensioner och har en fundering.
Om vi låter V och W vara ortogonala vektorer och ska beräkna det här uttrycket i R3:
V x (V x W) = ?
Jag förstår att man kommer att få svaret att bli vektor W multiplicerat med en skalär, jag vet också att storleken av skalären beror på normen av V och W då de är ortogonala, det jag undrar över är om man generellt kan dra slutsatsen att skalären kommer ha negativt värde, och hur man då skulle bevisa det?
När jag testar själv får jag alltid att den resulterande vektorn är W multiplicerat med en negativ skalär men jag kan inte finna något bevis för varför det är så.
Tacksam för hjälp
Testa vad som händer om du beräknar V x (W x V). Slutsats?
Jag får att det blir - (V x (V x W)) och jag anar att den geometriska förklaringen till det beror på orienteringen i rummet hos de vektorerna man gjorde kryssprodukt med.
Jag förstår dock inte hur denna geometriska orientering definieras? Är det till exempel att ena vektorn ska vara till höger om den andra eller tvärtom? Hur definierar man i sådana fall vad som är höger/vänster?
Om det finns något snyggt algebraiskt sätt att tänka så förstår jag det tyvärr inte, min slutsats från det du skrev blev helt enkelt att man kan beräkna orienteringen på V x (W x V) om man redan vet orienteringen hos V x (V x W), men jag förstår inte hur man ska komma fram till den orienteringen till att börja med.
Testade lite till och drog nu slutsatsen att om vi tittar ovanifrån på de två vektorerna så kommer normalvektorn att komma mot oss om den vektorn som är längst till vänster i kryssprodukten, alltså V, geometriskt är orienterad till höger om den andra från vårt perspektiv. Jag antar att detta är anledningen till att V x (V x W) kommer ha riktning tvärtemot W, då V kommer att vara orienterad till vänster om V x W om man tittar på vektorerna parallelt med vektor W, vilket medför att normalvektorn då kommer bli negativ den ursprungliga vektorn W.
Stämmer den slutsatsen?
Om jag tolkar dig rätt - ja. Vi lärde oss detta med hjälp av högerhandsregeln, används den fortfarande?
Har inte stött på den inom matematiken tyvärr, tack så mycket!
Pratar ni inte om ortonormerade högerhansddystem heller?
Om vi har kryssprodukten och låter A peka som höger tumme och B som höger pekfinger, så kommer C att peka i den vinkelräta (mot både A och B) riktning som är bekväm att peka i. Regeln var jättebra i fysiken också.
Jag har stött på en sådan regel i fysiken under gymnasiet när vi arbetade med magnetfält men ingenting inom matematiken än, men då vet jag var härledningen kommer från nu i alla fall ! :-D
När jag läste lin alg (förra årtusendet) så började de flesta satserna med "Om man har ett ONH (ortonormerat högerhandssystem) så...". Vad kallas detta i din kurs?
I de satser jag ser någonting liknande nämner man enbart att det är ett ON-system eller ON-bas.
Det finns en formel som heter vektoriell trippelprodukt som ges av a x (b x c) = <a, c>b - <a, b>c. Om man låter a = b = v och c = w får man att v x (v x w) = <v, w>v - <v, v>w = {v och w är ortogonala} = 0 - <v, v>w = -||v||^2 w.
Detta är kanske en väldigt konstig fråga men jag undrar om du är abdullah som läser teknisk fysik åk 1 på KTH just nu? Känner nämligen igen ditt namn från vårt discord.
Detta är Adam iaf :-D
