kryptering

Du har två linjära ekvationer med två okända.

Polya-fråga: Kan du ta bort något villkor i problemet som gör det enklare? Jag antar att det är faktumet att allt det här är modulo 26 som är en svårighet. Okej, så hur skulle vi löst problemet om det inte var modulo 26 utan bara

$4m + n = 18$

$13m + n = 19$

Hur hade du gått tillväga för att lösa det? Kan du använda den strategin även för modulo 26-problemet?

löser jag det som ett vanligt ekvationssystem får jag att m=1/9 och n=158/9

ska man sedan ta 1 och 158 modulo 26?

Så länge du kan motivera alla steg du gör matematiskt kan du göra dem, men du måste motivera dem, inte bara gissa.

Det talpar (n,m) du får, även via en svagt motiverad metod, kan du dock stoppa in i ursprungsekvationen och se om den är riktig. 

ekvationen stämmer då jag sätter in värdena för m och n. Fast jag är inte med på hur vi sedan ska använda det för att lösa uppgiften.

Jag menade att du kunde testa din hypotes att m = 1 och n = 158 (mod 26) = 2 var en lösning till ursprungsekvationen varifrån du snabbt kunde förkastat den hypotesen eftersom 

4m + n = 4 + 2 = 6 inte är 18 så det kan inte vara rätt.

Poängen med att jämföra två liknande problem är inte att anta att de är ekvivalenta, dvs att lösa den ena är detsamma som att lösa det andra, utan att reflektera över de strategier man använder för att lösa det ena problemet och fundera på om de är giltiga i det andra.

Själva strategin vid lösningen av linjära ekvationssystem är ju att reducera antalet okända i en given ekvation genom addition eller substitution för att landa i triviala ekvationer som ax = b (ex: 5x = 3). Den stragegin är rimligtvis användbart även i mod-problemet

Tag 

$4m + n \equiv 18 \pmod{26}$

$13m + n \equiv 19 \pmod{26}$

och subtrahera från den andra ekvationen den första ekvationen. Vi får då

$(13m + n) - (4m + n) \equiv 19 - 18 \pmod{26}$

$9m \equiv 1 \pmod{26}$

Detta är en ekvation i en variabel. Det är fortfarande modulär aritmetik som gäller så vi kan inte dividera men de två okända har nu frikopplats så man behöver bara lösa en ekvation med en okänd istället för två med två okända.

Ett nytt obekant problem omvandlas till ett gammalt bekant problem via inspiration från ett annat gammalt problem.

ska man då ta $$\begin{gathered} 26=2\times 9+8 \\ 9=1\times 8+1 \end{gathered}$$ och sedan  $1=9-8=9-\left(26-2\times 9\right)=3\times 9-1\times 26$ och få att m=3 

Så gjorde jag.

Men en inflikning här, jag skulle undvika att tala om att man ska göra något särskillt i matematik vilket du gör återkommande. Man kan göra saker, och vissa av de sakerna kan göras i sekvens för att nå ett mål men ordet ska antyder att det finns ett korrekt sätt att göra det vilket är ett improduktivt sätt att se på saker eftersom det inte finns något utrymme för kreativitet och skapande, även fast alla de verkliga matematiska situationerna man ställs inför alltid måste ha ett element av skapande.