Kritiska punkter till en (implicit funktion)?

Hej. Först och främst, är det en implicit funktion vi har att göra med? Jag antar att om vi kan skriva funktionen som $f \left( x,y,z \right) = e^{2zx-x^2}-3e^{2zy+y^2}-2=0$ dvs lika med noll så är det en implicit funktion?

Om vi inte hade o göra med $z$ så hade jag skrivit om ovan som $g \left( x,y \right) = e^{2x-x^2}-3e^{2y+y^2}-2$ och satt gradienten lika med noll och på så sätt hittat kritiska punkter. Har faktiskt ingen aning om hur jag ska göra nu.

Enligt implicita funktionssatsen är $f^\prime_z(a,b,c)\neq 0$ ett tillräckligt villkor för att man ska kunna plocka fram en funktionsyta $z=g(x,y)$ i en omgivning kring punkten $(a,b,c)$ . Man säger att $f(x,y,z)=C$ definierar en funktionsyta lokalt.

Man har också derivationsformlerna:

$\displaystyle g^\prime_x(x,y)=-\frac{f^\prime_x}{f^\prime_z}$

$\displaystyle g^\prime_y(x,y)=-\frac{f^\prime_y}{f^\prime_z}$

För kritiska punkter gäller vidare att de partiella derivatorna är noll, dvs

$g^\prime_x(x,y)=g^\prime_y(x,y)=0\implies f^\prime_x=f^\prime_y=0$

Vad säger det om eventuella kritiska punkter $x,y,z$ ? Ställ upp de två ekvationerna! Lös ut eventuella samband.

Sätt in de samband du hittar i den definierande ekvationen $f(x,y,z)=C$ , vilka punkter ramlar ut?

Svara