kritiska punkter för flervariabel funktion

"Långt från origo", helt enkelt.

Du vet t.ex. att f(1, -1) är negativt, och att f för vilken punkt som helst långt från origo är ungefär noll. Alltså är värdet f(1, -1) ett minimivärde, enligt övrigt resonemang här.

Bubo skrev:

"Långt från origo", helt enkelt.

Du vet t.ex. att f(1, -1) är negativt, och att f för vilken punkt som helst långt från origo är ungefär noll. Alltså är värdet f(1, -1) ett minimivärde, enligt övrigt resonemang här.

Så du menar att när jag stoppar in ett stort värde på x så blir nämnaren mycket större än täljaren därmed så blir det noll samma gäller med y, har jag rätt?

Ja. Prova!

Det var ett tag sedan jag läste flervariabeln, så andra får gärna komplettera. 

När vi söker efter största eller minsta värden av en funktion på icke-kompakta mängder ( obegränsade mängder t.ex hela xy-planet) , räcker det inte längre bara med att studera de stationära punkter för funktionen - som är ett tillräckligt krav för lokala undersökningar på kompakta mängder (mängden är sluten och begränsad). Utan en ytterligare undersökning måste göras, enligt teori vet vi att f har maximi resp. minimi punkt om funktionen f är begränsad på en kompakt mängd, d.v.s. det finns något tal a så att f(x)<f(a) om maximi eller f(x)>f(a) om minimi. 

Så efter att vi har bestämt våra stationära punkter behöver vi studera funktionen i en tänkt cirkelskiva x^2 + y^2 = R^2 och låter denna cirkelskiva gå mot oändligheten.

Tanken är att vi 'skapar' en kompakt mängd och låter den bli oändligt stor, och om f är begränsad när cirkeln går mot oändligheten vet vi garanterat att funktionen har största och minsta värden som antingen är en inre punkt (stationär punkt) eller randpunkt (ändpunkt) - annars divergerar ju funktionen annars om f är obegränsad så går f mot oändligheten.

Så i vårt fall, får vi att f går mot 0 när vår tänkta cirkelskiva går mot oändligheten, d.v.s f är begränsad. Så då vet vi att f har sitt största respektive minsta värde. 

Nu sätter vi in alla våra kandidat-punkter(stationära och randpunkter vanligtvis) och ser vilken/vilka som ger funktionen sitt största respektive minsta värde.

Om du har flervariabel från Arne Persson och Lars-Christer Böiers så hittar du teorin bakom i kapitel 4.2.

tjbzz skrev:

Det var ett tag sedan jag läste flervariabeln, så andra får gärna komplettera. 

 

När vi söker efter största eller minsta värden av en funktion på icke-kompakta mängder ( obegränsade mängder t.ex hela xy-planet) , räcker det inte längre bara med att studera de stationära punkter för funktionen - som är ett tillräckligt krav för lokala undersökningar på kompakta mängder (mängden är sluten och begränsad). Utan en ytterligare undersökning måste göras, enligt teori vet vi att f har maximi resp. minimi punkt om funktionen f är begränsad på en kompakt mängd, d.v.s. det finns något tal a så att f(x)<f(a) om maximi eller f(x)>f(a) om minimi. 

Så efter att vi har bestämt våra stationära punkter behöver vi studera funktionen i en tänkt cirkelskiva x^2 + y^2 = R^2 och låter denna cirkelskiva gå mot oändligheten.

Tanken är att vi 'skapar' en kompakt mängd och låter den bli oändligt stor, och om f är begränsad när cirkeln går mot oändligheten vet vi garanterat att funktionen har största och minsta värden som antingen är en inre punkt (stationär punkt) eller randpunkt (ändpunkt) - annars divergerar ju funktionen annars om f är obegränsad så går f mot oändligheten.

 

Så i vårt fall, får vi att f går mot 0 när vår tänkta cirkelskiva går mot oändligheten, d.v.s f är begränsad. Så då vet vi att f har sitt största respektive minsta värde. 

Nu sätter vi in alla våra kandidat-punkter(stationära och randpunkter vanligtvis) och ser vilken/vilka som ger funktionen sitt största respektive minsta värde.

 

 

Om du har flervariabel från Arne Persson och Lars-Christer Böiers så hittar du teorin bakom i kapitel 4.2.

Tack för svaret, jag har förstått hur jag ska göra med likande uppgifter, dock hur ska man göra då cirkelskivan går mot oändligheten och f går då mot oändligheten? exempelvis (x*y)/(x^2 + y^2)?

I det fallet har funktionen inget maximivärdet. På samma sätt som att inget minimivärde existerar om funktionen går mot -inf.

tjbzz skrev:

När vi söker efter största eller minsta värden av en funktion på icke-kompakta mängder ( obegränsade mängder t.ex hela xy-planet) , räcker det inte längre bara med att studera de stationära punkter för funktionen - som är ett tillräckligt krav för lokala undersökningar på kompakta mängder (mängden är sluten och begränsad). 

Ett tillägg till ovanstående är att vi oavsett måste undersöka randen för den kompakta mängden (på samma sätt som vi undersöker "randen" på den obegränsade mängden).

Calle_K skrev:

I det fallet har funktionen inget maximivärdet. På samma sätt som att inget minimivärde existerar om funktionen går mot -inf.

tjbzz skrev:

När vi söker efter största eller minsta värden av en funktion på icke-kompakta mängder ( obegränsade mängder t.ex hela xy-planet) , räcker det inte längre bara med att studera de stationära punkter för funktionen - som är ett tillräckligt krav för lokala undersökningar på kompakta mängder (mängden är sluten och begränsad). 

Ett tillägg till ovanstående är att vi oavsett måste undersöka randen för den kompakta mängden (på samma sätt som vi undersöker "randen" på den obegränsade mängden).

så hur ska jag kolla randen av (x*y)/(x^2+Y^2)?

 På ett obegränsat område finns det ingen rand, men kolla vad gränsvärdet går mot då r (=sqrt(x²+y²), alternativt går det bra att kolla x²+y²) går mot oändligheten (i detta fall blir det olika värden beroende på vilken riktning vi går i).

Är gränsvärdet obegränsat existerar inget maximivärdet eller minimivärde (beroende på om gränsvärdet går mot inf eller -inf). Är gränsvärdet begränsat måste du ta hänsyn till det när du bestämmer max- eller minvärdet för funktionen.

Jaghatarfysik skrev:

Calle_K skrev:

I det fallet har funktionen inget maximivärdet. På samma sätt som att inget minimivärde existerar om funktionen går mot -inf.

Visa föregående citat

tjbzz skrev:

När vi söker efter största eller minsta värden av en funktion på icke-kompakta mängder ( obegränsade mängder t.ex hela xy-planet) , räcker det inte längre bara med att studera de stationära punkter för funktionen - som är ett tillräckligt krav för lokala undersökningar på kompakta mängder (mängden är sluten och begränsad). 

Ett tillägg till ovanstående är att vi oavsett måste undersöka randen för den kompakta mängden (på samma sätt som vi undersöker "randen" på den obegränsade mängden).

så hur ska jag kolla randen av (x*y)/(x^2+Y^2)?

På denna är det lämpligt att gå över till polära koordinater.

x = rcosv

y = rsinv

f(x, y) = xy/(x² + y²) = utnyttja polära = cosv$·$sinv = (1/2)sin2v.

Så funktionen är konstant på strålar som utgår från origo (som inte ingår i definitionsmängden). fMax = 1/2. fMin = -1/2.