Krav för att en punkt ska vara en terasspunkt

Det 3e kravet kan ju oxå vara att derivatan har samma tecken till vänster och höger om punkten. 

Om man tänker sig att vi har ett teckenstudium:

+ + + + + 0 + + + ... - Terraspunkt

- - - - - 0 - - - ... - Terraspunkt

Precis. Men man kan väl dessutom använda andraderivatan? För en terasspunkt är ju en inflexionspunkt. Och för att en punkt ska vara en inflextionspunkt ska det ske ett teckenbyte runt 0 för $f\text{'}\text{'}$, såvitt jag minns. Stämmer det?

naytte skrev:

Precis. Men man kan väl dessutom använda andraderivatan? För en terasspunkt är ju en inflexionspunkt. Och för att en punkt ska vara en inflextionspunkt ska det ske ett teckenbyte runt 0 för $f\text{'}\text{'}$, såvitt jag minns. Stämmer det?

Nej för att det ska vara en inflexionspunkt i a räcker det att f''(a) = 0 samt f'''(a) ≠ 0. 

Terasspunkter är specialfall av inflexionspunkter. Dvs alla terasspunkter är inflexionspunkter men inte tvärtom. Terasspunkter är inflexionspunkter med lutningen 0. 

(jag måste fundera mer på vad ditt krav att det ska vara teckenbyte runt f'' oxå leder till, kan vara så att det är en tolkning av mina krav.)

Okej nu tror jag att jag förstår. Kravet f'''(a)≠0 är samma som ditt krav för det gör att f''(x) inte kan ha en extrempunkt i a och således inte inte byta tecken vid a. För att om den inte ska byta tecken vid a så måste den bara nudda x-axeln vilket bara kan ske om det finns en extrempunkt där. 

Ah, den regeln kände jag inte till. Så om $f\text{'}\text{'}\left(a\right)=0$ och $f\text{'}\text{'}\text{'}\left(a\right)\ne 0$, så är det en inflexionspunkt? 

Ja precis.

Hur är det egentligen för f(x)=x^5? Där är ju f'''(0)=0, trots att det är en inflexionspunkt?

Bra exempel på.att regeln om tredjederivatan inte stämmer.

Istället gäller följande:

Om f''(x) = 0 vid x = a och f''(x) har teckenväxlingen -0+ eller +0- runt x = a så har f(x) en inflexionspunkt vid x = a.

Otydligt att kalla det krav, snarare gäller detta:

f''(a)=0 och f'''(a)≠0 => funktionen f(x) har en inflexionspunkt i x=a

Notera att implikationspilen bara går åt höger. 

Jag förstår intr varför vi pratar om tredjederivatan. Överkomplicra det inte, vi behöver bara bry oss om tecknet kring extrempunkterna.

Självklart. 

Det var jag som sökte runt och hittade denna: 

http://34.248.89.132:1800/index.php?title=3.3_Terasspunkter 

Funderade bara på hur dessa regler kunde översättas till Nayttes.