kraftfält

När man ska beräkna arbetet över en sluten kurva existera två huvudsakliga alternativ.

1. Att använda Stokes sats i de fall fältets krökning har en enkel form (vilket är fallet i detta fall)

2. Att parametrisera kurvan och sätta in parametriseringen i fältet och lösa den korresponderande envariabelsintegralen.

Du kan kvadratkomplettera ekvationen du har skrivit upp. Notera att det inte är frågan om bara en skärningspunkt, vi har

$x^2 + y^2 - 2x - 1 = 0 <=> (x-1)^2 - 1 + (y-0)^2 - 1 = 0 <=> (x-1)^2 + (y-0)^2 = 2$

som vi känner igen som mängden av alla punkter $(x, y)$ sådana att avståndet till punkten $(1, 0)$ är $\sqrt(2)$. En cirkel alltså. Cirklar kan vi enkelt parametrisera och i det här fallet är en sådan parametrisering

$x = 1+\sqrt(2)\cos(t)$
$y = \sqrt(2)\sin(t)$
$0 \leq t \leq 2\pi$

Jag tror att det här är en bra början för resten av uppgiften.

Uppgiften ska lösas m.h.a Stokes sats och den ger väl oss  ${\int }_{\partial y}={\iint }_{y}rot\left(\stackrel{\rightharpoonup }{F}\right)*\stackrel{\rightharpoonup }{n}dS$

Vi ska nu räkna ut rotationen av fältet F som $rot\left(\stackrel{\rightharpoonup }{F}\right)=\nabla \times \stackrel{\rightharpoonup }{F}$ = $\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)$ men där har jag lite svårt.  Vi har ju att F=(0,x,-y)=(P,Q,R) så får vi då:

$\nabla \times \stackrel{\rightharpoonup }{F}=\left(\frac{\partial -y}{\partial y}-\frac{\partial x}{\partial z},\frac{\partial 0}{\partial z}-\frac{\partial -y}{\partial x},\frac{\partial x}{\partial x}-\frac{\partial 0}{\partial y}\right)$

ska man alltså sätta $\nabla \times F=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)\times \left(0,x,-y\right)= \frac{\partial }{\partial x}\left(x\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(-y\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(0\right)$ då skulle vi ju få 1-1=0

Hej Idil,

När man arbetar vektorer är det viktigt att skilja på kryssprodukten $\nabla \times \mathbf{F}$ som kallas rotationen av F och skalärprodukten $\nabla \cdot \mathbf{F}$ som kallas divergensen av F.

Det du räknat ut är divergensen (skalärprodukten $\nabla \cdot \mathbf{F}$).

För att räkna ut rotationen $\nabla \times \mathbf{F}$ som används i Stokes sats kan du använda Sarrus regel för kryssprodukter.

$\nabla\times \mathbf{F}=\begin{vmatrix} \mathbf{e}_1& \mathbf{e}_2& \mathbf{e}_3 \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& x & -y\\ \end{vmatrix}=-\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_3=(-1,0,1)$

med hjälp av sarrus regel får vi alltså 

$\begin{array}{ccccc}{e}_1& e_2& e_3& e_1& e_2\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}& \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}\\ 0& x& -y& 0& x\end{array}$

men jag kommer inte fram till $-e_1+e_3=\left(-1,0,1\right)$

man ska väl multiplicera ihop $\left(e_1\times \frac{\partial }{\partial y}\times -y\right)+\left(e_2\times \frac{\partial }{\partial z}\times 0\right)+\left(e_3\times \frac{\partial }{\partial x}\times x\right)-\left(e_2\times \frac{\partial }{\partial x}\times -y\right)-\left(e_1\times \frac{\partial }{\partial z}\times x\right)-\left(e_3\times \frac{\partial }{\partial y}\times 0\right)$

men hur får vi då $-e_1+e_3$

Bra, nu har du fått rätt kryssprodukt!

Men du kanske är osäker på hur man deriverar? För att ta några exempel i din kryssprodukt

$\mathbf{e}_1\frac{\partial }{\partial y}(-y)=-\mathbf{e}_1$

$\mathbf{e}_3\frac{\partial }{\partial x}(x)=\mathbf{e}_3$

Samt

$\mathbf{e}_1\frac{\partial }{\partial z}(x)=0$

Är du med på att det du skrivit alltså är $\nabla \times \mathbf{F}=(-1,0,1)$?

okej så man har alltså i det första exemplet $e_1\times \left(1\times -1\right)=-e_1$ då derivatan av -y blir -1. 

Ja nu är jag med på det, tack.

När vi nu har räknat fram rotationen av fältet F till $\nabla \times F=-1,0,1)$ så blir väl nästa steg att ta fram ytans enhetsnormalvektor, och i detta fall har vi ju ytan $z=x^2+y^2$ men sedan har vi ju även planet $z=1+2x$

Ja, du har två ytor att välja mellan. Fältet kommer ge dig samma värde på integralen oavsett vilken yta du väljer.

Men den plana ytan (dvs z=1+2x) ger dig en enklare normal att integrera (den är konstant över hela ytan) till skillnad från den buktiga ytan.

Vad också noga med att orientera normalen åt rätt håll med ledning av denna mening i din uppgiftsformulering: "då kurvan genomlöps ett varv i positiv led kring z-axeln."

okej om vi då väljer ytan z=1+2x kan man inte ta fram normalen som  $\stackrel{\rightharpoonup }{N}=\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}=2,0,-1$

Det är en normal till ytan, men den pekar åt fel håll. Planets normal ska peka uppåt utmed z-axeln eftersom vi ska gå ett varv runt z-axeln i positiv led.

Vänder på du din normal åt andra hållet får du en normal som orienterar ytan åt rätt håll $\vec{n}=(-2,0,1)$

Slutligen ska du integrera över området i planet. Området ligger över en cirkel i xy-planet med centrum i (1,0) och med radien $\sqrt 2$. Eftersom du har en konstant integrand och redan har normalen normerad för z=1 räcker det med att multiplicera den med arean för området i xy-planet.

Vill du använda en parametrisering $\mathrm{r}(x,y)=(x,y, 2x+1)$ blir det vektoriella ytelementet $\mathrm{d}\mathbf{S}=(-2,0,1)dxdy=\vec{n}\frac{dxdy}{|\vec{n_z}|}$

kan man då ställa upp en dubbelintegral ${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\sqrt{2}}\stackrel{\rightharpoonup }{F}\times \stackrel{\rightharpoonup }{n}dS$ 

och i har att rotationen räknade vi fram till (-1,0,1) och normalen till (-2,0,1) så tar vi då (-1,0,1)(-2,0,1)=2

så vi får ${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\sqrt{2}}2dS$

Nja det är nästan rätt, men nu slarvade du med beräkningen av skalärprodukten

$(-1,0,1)\cdot(-2,0,1)dxdy=((-1)\cdot(-2))+0+1)dxdy=3dxdy$

Så du har integralen

$\iint_D 3dxdy$

Om du nu byter till polära koordinater måste du komma ihåg att byta $dxdy$ mot $r\,drd\varphi$, alltså får du

$\displaystyle \iint_D 3dxdy= \int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt2}3r\,drd\varphi$

Edit: formellt gör du

$x=1+r\cos(\varphi)$

$y=r\sin(\varphi)$

Men på riktigt tänker du bara "$\iint_D 3dxdy$ är arean av cirkeln multiplicerat med 3"