Krafter - Friktionskoefficient

Precis den här uppgiften löste jag nyligen med min äldsta dotter. Jag bad henne rita en skiss och sätta ut de krafter hon har.

Då kom hon fram till att det finns en komposant som vill accelerera lådan nedför det lutande planet. För att lådan inte skall börja glida måste det finnas en lika stor kraft som motverkar den.

Ja! Det kom jag också fram till, att F_fr = F_gx. 

Hur delar du upp F_g? Vad är de två komposanterna uttryckt i F_g?

De där suffixen x och y förvirrar åtminstone mig lite, men jag tror jag vet vad du menar. Om du ritat en skiss skulle jag vara säker. ;-)

Dr.scofield skrev:

Jag har dessutom komposantuppdelat F_g i F_gx och F_gy.  

Följa istället ledningen: "i normalens och i tangentens riktning."

Dr.scofield skrev:

OK, hur stor är då F_gx respektive F_gy, givet vinkeln α?

Kan jag ta reda på deras storlek med hjälp av bara storleken på vinkeln? 

Dr.scofield skrev:

Kan jag ta reda på deras storlek med hjälp av bara storleken på vinkeln? 

Ja, du har säkert lärt dig något om typ närliggande/hypotenusan och motstående/hypotenusan i trigonometrin? Låter det bekant?

Jadå! Men jag behöver åtminstone veta en av krafternas storlek tänker jag? Alla krafters storlekar är okända. 

Kraften du markerat med två röda streck över (tyngdkraften på lådan) kan du låtsas vara känd, låt den vara $mg$

Dr.scofield skrev:

Jadå! Men jag behöver åtminstone veta en av krafternas storlek tänker jag? Alla krafters storlekar är okända. 

Inledningsvis skrev du att att du inte kände massan på lådan men gissade att den skulle förkortas bort så småningom. Det var alldeles rätt! Kalla den m, eller bestäm att m=1 kg om du hellre vill det.

Jag kom så här långt. Det enda sättet vi kan förkorta bort massa på är att ta F_fr /F_N vilket ger oss tan 30 som i sin tur ger oss det rätta svaret. Jag ser däremot inte anledningen till att dividera dem med varandra.

(Detta med F_gx = mg * sin 30 och F_gy = mg * cos 30 skrev jag utan att riktigt förstå vad jag gör. Jag vet att det måste vara så men inte varför. Vilken annan vinkel är också 30°?)

Normalkraften: $F_N=mg\times \cos \left(\alpha \right)$

Friktionskraften: $F_{friktion}=\mu \times F_N$

Kraften som får lådan att glida (din F_gx): $F_{gx}=mg\times \sin \left(\alpha \right)$

För att lådan precis inte skall börja glida: 

$$\begin{gathered} F_{gx}=F_{friktion} \\ mg\times \sin \left(\alpha \right)=\mu \times mg\times \cos \left(\alpha \right) \\ \cancel{mg}\times \sin \left(\alpha \right)=\mu \times \cancel{mg}\times \cos \left(\alpha \right) \\ \mu =\frac{\sin \left(\alpha \right)}{\cos \left(\alpha \right)}=\tan \left(\alpha \right) \end{gathered}$$

Bilden är tagen från formelsamlingen för lutande plan där även ovanstående ekvationer finns.

Nu förstår jag allt! Stort tack! :D

I våran formelsamling står endast det här om trigonometri. Hur ska jag veta att  F_gx = mg * sin 30 och F_gy = mg * cos 30 utan att ha den bilden du visade framför mig? Någon annan vinkel (mellan kraftpilarna) bör också vara 30° i så fall tänker jag?

Nu insåg jag att du hade markerat den andra vinkeln som också är 30°! Men hur visste du att just den skulle vara det? 

Dr.scofield skrev:

Nu förstår jag allt! Stort tack! :D

I våran formelsamling står endast det här om trigonometri. Hur ska jag veta att  F_gx = mg * sin 30 och F_gy = mg * cos 30 utan att ha den bilden du visade framför mig? 

Bra fråga! Det finns flera svar på den.

Ett är väl du får resonera dig fram efter att ha ritat ut alla krafter. Typ så här: Hmm? Är inte det där en rätvinklig triangel? Jag har lärt mig något om sådana och hur man räknar ut sidor givet vinklar. Den lilla vinkeln är nog alfa, jo det kan jag visa. Den långa kateten måste vara ... Den korta kateten då? Jo, den måste ju vara lika lång som ...

Ett annat svar på "hur skall man veta?" är ju att det är ju precis det du håller på med. Du löser uppgifter, kikar i en formelsamling, hittar något användbart, får rätt svar ... och sedan har du lärt dig. 

Man lär sig saker genom att lösa problem, men man kan ju inte veta och se allt direkt även om man har de matematiska kunskaperna som krävs för att visa dem.

Så gör jag också. Vet jag inte hur jag skall lösa något så brukar jag bläddra i formelsamlingen för att se om jag hittar något användbart. Inte har jag allt i huvudet, men det jag däremot vet är att något går att lösa, även om jag inte har stenkoll på detaljerna. Det är det viktigaste, för resten kan jag slå upp vid behov.

.

Dr.scofield skrev:

Nu förstår jag allt! Stort tack! :D

Nu insåg jag att du hade markerat den andra vinkeln som också är 30°! Men hur visste du att just den skulle vara det? 

Är du med på följande?

• Jag kan dra ut spetsen till vänster (med vinkeln alfa), så att det blir som den gula. Då är vinkeln fortfarande alfa.
• Vinkeln beta måste då bli 90-alfa.
• Då blir den sökta vinkeln också alfa.

Yes yes yes! Nu hänger jag med på allt. Detta var kanske det svåraste med uppgiften. Tack så mycket för hjälpen! 

Två vinklar som har sina sidor vinkelräta mot varandra är lika stora...