kovexitetsegenskaper hos en funktion (Matematik/Universitet)

Ritar. Studerar asymptoter och tecknet på andraderivatan.

Laguna skrev:
Ritar. Studerar asymptoter och tecknet på andraderivatan.

alltså den ursprungliga grafen innehåller absolut belopp därför får jag två fall att studera. det här är första fallet där $x \leq 1$ . jag har hittat asymptoter, extrempunkter och ritat grafen men sen kan jag inte komma vidare med konvexitetsegenskaper.

Hej!

Uttrycket kan skrivas

$\displaystyle\frac{2(x^2+2x+1-3x)}{x+1} = 2(x+1) - \frac{6x}{x+1} = 2(x+1) - 6\frac{x+1-1}{x+1} = 2(x-2) + \frac{6}{x+1}.$

Funktionen $g(x)=2(x-2)$ där $x \in \mathbb{R}$ är konvex och funktionen $h(x) = \frac{1}{1+x}$ där $x \in \mathbb{R}\setminus\{-1\}$ är konvex på det öppna intervallet $(-1,\infty)$ och konkav på det öppna intervallet $(-\infty,-1).$

En summa av två konvexa funktioner är själv en konvex funktion.

be5612 skrev:
Laguna skrev:
Ritar. Studerar asymptoter och tecknet på andraderivatan.
alltså den ursprungliga grafen innehåller absolut belopp därför får jag två fall att studera. det här är första fallet där $x \leq 1$ . jag har hittat asymptoter, extrempunkter och ritat grafen men sen kan jag inte komma vidare med konvexitetsegenskaper.

Var står absolutbeloppen?

Albiki skrev:
Hej!
Uttrycket kan skrivas
$\displaystyle\frac{2(x^2+2x+1-3x)}{x+1} = 2(x+1) - \frac{6x}{x+1} = 2(x+1) - 6\frac{x+1-1}{x+1} = 2(x-2) + \frac{6}{x+1}.$
Funktionen $g(x)=2(x-2)$ där $x \in \mathbb{R}$ är konvex och funktionen $h(x) = \frac{1}{1+x}$ där $x \in \mathbb{R}\setminus\{-1\}$ är konvex på det öppna intervallet $(-1,\infty)$ och konkav på det öppna intervallet $(-\infty,-1).$
En summa av två konvexa funktioner är själv en konvex funktion.

hej,

vart ifrån får man -3x i funktionen?

Laguna skrev:
be5612 skrev:
Laguna skrev:
Ritar. Studerar asymptoter och tecknet på andraderivatan.
alltså den ursprungliga grafen innehåller absolut belopp därför får jag två fall att studera. det här är första fallet där $x \leq 1$ . jag har hittat asymptoter, extrempunkter och ritat grafen men sen kan jag inte komma vidare med konvexitetsegenskaper.
Var står absolutbeloppen?

den ursprungliga funktionen är $\frac{2 |x + 1| + 2 x^{2}}{x + 1}$ man delar ju in den i två fall den ena när x $\leq 1 o c h d e n a n d r a x \geq 1$

be5612 skrev:
Laguna skrev:
be5612 skrev:
Laguna skrev:
Ritar. Studerar asymptoter och tecknet på andraderivatan.
alltså den ursprungliga grafen innehåller absolut belopp därför får jag två fall att studera. det här är första fallet där $x \leq 1$ . jag har hittat asymptoter, extrempunkter och ritat grafen men sen kan jag inte komma vidare med konvexitetsegenskaper.
Var står absolutbeloppen?
den ursprungliga funktionen är $\frac{2 |x + 1| + 2 x^{2}}{x + 1}$ man delar ju in den i två fall den ena när x $\leq 1 o c h d e n a n d r a x \geq 1$

Varför visade du inte den från början? Inget av fallen blir uttrycket som du hade i början.

Edit: fallen delas för övrigt upp i x < -1 och x > -1.

Laguna skrev:
be5612 skrev:
Laguna skrev:
be5612 skrev:
Laguna skrev:
Ritar. Studerar asymptoter och tecknet på andraderivatan.
alltså den ursprungliga grafen innehåller absolut belopp därför får jag två fall att studera. det här är första fallet där $x \leq 1$ . jag har hittat asymptoter, extrempunkter och ritat grafen men sen kan jag inte komma vidare med konvexitetsegenskaper.
Var står absolutbeloppen?
den ursprungliga funktionen är $\frac{2 |x + 1| + 2 x^{2}}{x + 1}$ man delar ju in den i två fall den ena när x $\leq 1 o c h d e n a n d r a x \geq 1$
Varför visade du inte den från början? Inget av fallen blir uttrycket som du hade i början.
Edit: fallen delas för övrigt upp i x < -1 och x > -1.

såhär går uppgiften till:

undersök lokala och globala extrempunkter, asymptoter och konvexitetsegenskaper till kurvan $\frac{2 |x - 1| + 2 x^{2}}{x + 1}$ eftersom vi har $|x - 1|$ får vi två fall

$|x - 1| \{\begin{cases} x - 1 o m x \geq 1 \\ - (x - 1) o m x \leq 1 \end{cases}$ därför kan vi skriva om funktionen till de 2 fallen som vi fick och detta blir

för $x \geq 1 \frac{2 (x^{2} + x - 1)}{x + 1}$ och för $x \leq 1 \frac{2 (x^{2} - x + 1)}{x + 1}$

funktionen där $x \geq 1$ finns det inga asymptoter eller extrempunkter därför har jag den andra funktionen att jobba med alltså när $x \leq 1$ .

den sneda asymptoten blir y=2x-4 och den vertikala blir x=-1. därefter hittar jag kritiska punkter med hjälp av första derivatan och får $x_{1} = - 1 - \sqrt{3}, x_{2} = - 1 + \sqrt{3}$ och sedan använder jag mig utan andra derivatan för att kolla om det är en min eller max punkter. och då är jag klar med asymptoter och extrempunkter, kvar har jag konvexitetsegenskaper. man ska använda andraderivatan för att undersöka vart funktionen är konkav och vart den är konvex,, men när jag sätter andraderivatan lika med 0 så får jag inga lösningar vad betyder det?

Inga extrempunkter, nej. Asymptot visserligen, men det kanske det inte frågas efter. Men konvexiteten, hur är det med den?

Här är en graf över funktionen. (Jag var lat och använde WolframAlpha.) Ser du att funktionen är komvex för x-värden mindre än -1 och konkav för x-värden större än -1, men att funktionen, förstaderivatan och andraderivatan inte är kontinuerlig i punkten x=-1?

Det verkar som om du fortfarande inte har ritat upp kurvan. Kanske det här kan lära dig något pm hur väsentligt det är att rita upp sina kurvor innan man gör NÅGOT annat?

Andraderivatan är aldrig noll, men eftersom du har ett absolutbelopp i funktionen så betyder det att du har en diskontinuitet i derivatan. Om du tänker på den enkla funktionen f(x) = |x| så ser du att derivatan går från negativ till positiv utan att vara noll någonstans.

Smaragdalena skrev:
Här är en graf över funktionen. (Jag var lat och använde WolframAlpha.) Ser du att funktionen är komvex för x-värden mindre än -1 och konkav för x-värden större än -1, men att funktionen, förstaderivatan och andraderivatan inte är kontinuerlig i punkten x=-1?
Det verkar som om du fortfarande inte har ritat upp kurvan. Kanske det här kan lära dig något pm hur väsentligt det är att rita upp sina kurvor innan man gör NÅGOT annat?

be5612 gjorde tydligen ett skrivfel på ett ställe: det är inte |x+1| utan |x-1|.

Smaragdalena skrev:
Här är en graf över funktionen. (Jag var lat och använde WolframAlpha.) Ser du att funktionen är komvex för x-värden mindre än -1 och konkav för x-värden större än -1, men att funktionen, förstaderivatan och andraderivatan inte är kontinuerlig i punkten x=-1?
Det verkar som om du fortfarande inte har ritat upp kurvan. Kanske det här kan lära dig något pm hur väsentligt det är att rita upp sina kurvor innan man gör NÅGOT annat?

jag har såklart ritat grafen och jag kan även se att den blir konkav och konvex. men man ska ju kunna undersöka konvexiteteegenskaper mha andraderivatan och när jag använder funktionens andraderivata och sätter lika med noll så får jag inga nollställen för att jag ska kunna räkna vidare.

Undersök om andraderivatan är positiv eller negativ för ett x-värde som är mindre än -1 och ett som är större än -1. Då kan du avgöra om funktionen är konvex eller konkav i vardera intervallet.