Kovergens/divergens jämförelsetest

Hej jag undrar hur man gör för att att som följande ekvation kovergerar eller divergerar. Enligt facit divergerar den men då måste jag hitta en funktion mindre än den för att testa. Hur gör jag detta? Detta är integralen: $\int_{0}^{\infty} \frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x^{5} + x + 1}} d x$

Jag delar upp den i två integraler med gräns 1 så det blir (0, 1) och (1, $\infty$ ). Jag kan logisk se att första intervallet bör kovergera men hur gör jag med nästa intervall?

När x är stort nog så dominerar $x^5$ i nämnaren medan $x^2$ dominerar i täljaren.

$\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{x^2+1}{\sqrt{x^5+x+1}} \leq \int_0^{\infty} \dfrac{x^2}{\sqrt{x^5}}$ och denna ser vi direkt om den komvergerar eller är divergent.

Den högra integralen är divergent.

Det är väl en uppskattning nedåt vi behöver om det är divergens vi vill visa?

För att visa ev konvergens behöver vi en uppskattning uppåt med en Konvergent integral.

Du har rätt Tomten, jag råkade vända på det. Vi har egentligen inte visat någonting alls, bara att en större integral är divergent vilket självklart inte säger så mycket.

Skönt! Jag började bli orolig.

Detta borde nog fungera om jag inte tänker fel vilket är möjligt då jag inte pillat med dessa typer av integraler på ett bra tag.

$f(x) = \dfrac{(x-1)(x+1)}{\sqrt{x(x^4+1+1/x)}}$

$g(x) = \dfrac{(x-1)}{x \sqrt{x}}$

$f(x) \geq g(x)$

$g(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}- \dfrac{1}{x \sqrt{x}}$ vilket är trivialt att integrera. Men man ser nog redan nu att detta är divergent.

Ser ju någorlunda vettigt ut när man ritar upp funktionerna: https://www.desmos.com/calculator/cmbwvl8owz

Svara

Visa senaste svar