Kortaste avståndet

Jag håller på med en uppgift som går ut på att hitta det kortaste avståndet från origo till en funktion i planet (funktionen är given). Jag löste uppgiften genom att intuitivt anta att linjen som går genom punkten (x,y) - i det här fallet origo - skär funktionen i den/de punkter där funktionens tangent och linjen är vinkelräta mot varandra. Finns det någon sats som säger detta?

Finns det för övrigt någon hemsida där man kan söka efter olika matematiska satser och bevis?

Säg att vi har kurvan

$γ (t) = (x (t), y (t))$

och söker den punkt som ligger närmast origo, så vill vi minimera funktionen

$d (t) = x (t)^{2} + y (t)^{2}$

Deriverar vi d m.a.p t så får man att

$d' (t) = 2 x (t) x' (t) + 2 y (t) y' (t) = 2 (x (t), y (t)) \cdot (x' (t), y' (t)) = 2 γ (t) \cdot γ' (t)$

Så om vi söker extrempunkterna till d så är dom där $\gamma(t)$ och $\gamma'(t)$ är ortogonal mot varandra.

Svara