kortaste avstånd mellan punkt och linje

Hejsan! Jag har en uppgift som egentligen är rätt simpel, men jag får inte rätt av någon anledning.

Uppgiften lyder: Linjen l är skärningen mellan planen 2x + 2y + z - 5 = 0 och 2x - y - 2z + 1 = 0.

Bestäm kortaste avståndet från punkten (3,3,2) till l.

Jag började med att lösa ekvationssystemet med de två planen för att få en ekvation för linjen l : (x,y,z) = (3/4;7/4;0) + t(3/4;-5/4;1)
Därefter ritade jag upp linjen och en godtycklig punkt jag kallar för P. Jag drar en linje från en punkt P0 på linjen till P och kallar denna för u.

Denna vektor får koordinaterna 1/4(9,5,8) Denna vektorn projicerar jag på riktningsvektorn för linjen för att få en vektor u'. Denna vektor är då parallell med linjen, men eftersom linjen ligger i rummet så kan jag ej hitta en normalvektor med hjälp av n = (a,b). Däremot så kan jag med formeln u - u' får vektorn u'' som är ortogonal mot linjen och har samma längd som det kortaste avståndet till punkten P från l.

u' = 17/100 (3,-5,4)

u - u' = 6/100 (29,35,22) = u''

$|u'|$ =3 enligt facit, men jag får det till 3,0298.....

Om det inte blev allt för rörigt att hänga med, så undrar jag ifall mitt resonemang låter rätt? Jag har skrivit tre olika sidor med olika metoder för att försöka komma fram till rätt svar som enligt facit är 3 l.e. och jag hittar inget slarvfel....

Hälsningar

Hej!

Ditt resonemang om hur man tar fram kortaste avståndet mellan din linje och punkt låter korrekt! Sedan har jag inte kollat om dina beräkningar verkar stämma. Man skulle kunna tänka sig att 3,0298... är avrundat till 3 men ofta på dessa uppgifter brukar exakta svar anges (t.ex. $\frac{17}{4}$ ). Dvs. är det 3 så är det exakt 3. Jag tar och gör uppgiften själv så återkommer jag :)

Räknade nu och det blir exakt att längden = $\sqrt{9} = 3$

Arythmeatox skrev:

Därefter ritade jag upp linjen och en godtycklig punkt jag kallar för P. Jag drar en linje från en punkt P0 på linjen till P och kallar denna för u.

Denna vektor får koordinaterna 1/4(9,5,8)

Vektorns koordinater borde väl bero på t?

Linjens ekvation och en riktningsvektorn får jag till (löste med Gauss-Jordan) :

$l = (\frac{1}{2}, 2, 0) + t (- 1, 2, - 2)$
$\vec{r} = (- 1, 2, - 2)$

En punkt på linjen blir t.ex. $P_{0} = (\frac{1}{2}, 2, 0)$ . Bilda vektorn $P_{0} P$ :
$u = P_{0} P = (3, 3, 2) - (\frac{1}{2}, 2, 0) = (\frac{5}{2}, 1, 2)$
Projicera $P_{0} P$ på $\vec{r}$ :
$u' = P r o j_{\vec{r}} P_{0} P = \frac{P_{0} P \cdot \vec{r}}{| | \vec{r} | |^{2}} \vec{r} = . . . = (\frac{1}{2}, - 1, 1)$
Sökta vektorn längd blir:
$\vec{u''} = u - u' = (\frac{5}{2}, 1, 2) - (\frac{1}{2}, - 1, 1) = (2, 2, 1) | | \vec{u''} | | = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = 3 l . e$

Svara

Visa senaste svar