Kortaste avstånd från punkt till plan.

Hej!

Uppgift:

Bestäm det kortaste avståndet från punkten (3, 1, 2) till det plan som innehåller punkterna (0, 1, 1), (1, 0, 2) och (1, 1, 0).

Lösning:

Jag börjar med att bestämma planet:

Parameterform:

Planet byggs upp av två riktningsvektorer: u = (1, -1, 1) & v = (1, 0, -1).

Då kan jag skriva det på parameterformen:

(0, 1, 1) + t(1, -1, 1) + s(1, 0, -1) = (t+s, 1-t, 1+t-s).

Normalform:

$\{\begin{matrix} x = t + s \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t - s \end{matrix}$

och då ser man att:

x+2y+z = 1

vilket är normalformen.

Eftersom jag nu har normalen till planet, d.v.s. n = (1, 2, 1) så vet jag att $\vec{P Q} = t n = (t, 2 t, t)$ .

Och eftersom $\vec{P Q} = Q - P$ så är

$Q = P + t n = (3, 1, 2) + t (1, 2, 1) = (3 + t, 1 + 2 t, 2 + t)$ .

Sätter vi in detta i planets ekvation på normalform så får vi att

3+t+2+4t+2+t = 1 $\Leftrightarrow$ t = -1

Då vet vi att avståndet är

$|\vec{P Q}| = |t n| = 1 \times \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}$

vilket är mitt svar.

Problem:

Facit säger att svaret är $\frac{4}{\sqrt{6}}$ . Varför?

Har jag dragit fel slutsats av att använda planets ekvation på normalform på det sättet jag har gjort? Går det endast att likställa normalformens koefficienter till variablerna som koordinater till normalens riktningsvektor när planets ekvation på normalform är lika med 0?

Planets ekvation är inte

x + 2y + z = 1

Ingen av de tre punkterna ligger i det planet. Kanske om

x + 2y + z = 3 (fast jag har inte räknat)

Hej Stoffer!

En normalvektor ( $n$ ) till planet får du som den vektoriella produkten av vektorerna $u$ och $v$ ,

$n = u\times v.$

Dividera den vektoriella produkten med dess belopp för att få en normalvektor ( $\hat{n}$ ) vars längd är lika med 1.

Låt $P$ vara punkten $(3,1,2)$ och låt $Q$ vara den ortogonala projektionen av punkten $P$ på planet. Vektorn $P-Q$ är parallell med normalvektorn $\hat{n}$ , vilket betyder att det finns ett positivt tal ( $d$ ) sådant att $P-Q = d\hat{n};$ detta positiva tal är lika med det sökta avståndet mellan punkten $P$ och planet.

Albiki

Jag hade räknat ut planets ekvation till

x+2y+z = 3 och sen hade jag gått vidare med att räkna på den felaktiga ekvation som jag skrev ovan. Jag ändrade detta och fick rätt svar. Tack båda för hjälpen!

Albiki: Ja, det hade varit ett snabbare sätt att räkna ut det, tack!

Jag hade nog satt in de tre punkterna i planets normalekvation direkt,

Ax + By + Cz + D = 0

Normalvektorn är då (A, B, C). Normera normalen och gå från (3, 1, 2) i normalens riktning tills planets ekvation är uppfylld.

Många liknande geometriska problem kan lösas på flera olika sätt!

Svara

Visa senaste svar