Kort fråga om derivata

Du vill hitta en punkt på kurvan $f\left(x\right)=-2x^2+4x+4$där en tangen går igenom punkten (4,2).

vid en viss x-kordinat, låt oss säga a, vet vi att tangenten kommer ha lutningen -4a+4 och att denna punkt skär f(x) vid samma punkt. Kalla funktionen y=(-4a+4)x+m sätt in värdet a för att få $y\left(a\right)=\left(-4a+4\right)a+m=4a-4a^2+m$

och f(a)=$-2a^2+4a+4$ ifall vi nu sätter f(a)=y(a) och kan därför få att $$\begin{gathered} 4a-4a^2+m=-2a^2+4a+4 \\ m=2a^2+4 \end{gathered}$$

Nu har vi den linjära funktionen y(x)=$\left(-4a+4\right)x+2a^2+4$ vi vet att den ska skära punkten (4,2) sä vi sätter in x=4 får $y\left(4\right)=\left(-4a+4\right)*4+2a^2+4=-16a+16+2a^2+4=2a^2-16a+20$

sätt detta som lika med 2 och lös för a. $$\begin{gathered} 2a^2-16a+20=2 \\ 2a^2-16a+18=0 \\ {a}^2-8a+9=0 \\ a=4\pm \sqrt{16-9} \\ a=4\pm \sqrt{7}\approx 4\pm 2,64 \end{gathered}$$alltså har vi antigen 6,24 eller 1.36 och 6,24 är längre bort än 4 alltså måste 1.36 vara svaret, alltså måste den börja åka rakt då x=1,36 eller mer exakt då $x=4-\sqrt{7}$

Tack!