Koppling mellan avbildningsmatriser och oändliga lösningar

Om vi har något ekvationssytem och vi får ut en lösning som tex:

$2 = 0$

så kan vi säga att ekvationssytemet saknar lösningar.

Å andra sidan, om vi får ut en lösning som:

$5 = 5$

Så brukar vi kunna säga att ekvationssystemet har oändligt antal lösningar.

Vi har följande ekvationssystem:

$\{\begin{cases} 2 y - 3 w = - 1 \\ x + 2 y - w = 1 \\ 2 x + 2 y + w = 2 \end{cases}$

Ekvationssytemet är ekvivalent med avbildningen:

$(\begin{matrix} 0 & 2 & - 3 \\ 1 & 2 & - 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ w \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$

Istället för att lösa systemet själv eller behöva göra några beräkningar,

så gick jag till en online-kalkylator för att beräkna determinanten av 3x3 matrisen ovan.

Determinanten är lika med 0, och matrisen är därmed inte inverterbar.

Fråga 1: Om avbildningsmatrisen ovan saknar invers, kan man då definitivt säga att ekvationssystemet saknar lösningar?

Fråga 2: För ett ekvationssystem med oändligt antal lösningar:

Kan man (på ett liknande sätt som ovan) undersöka avbildningsmatrisers determinant för att bestämma huruvida antalet lösningar är ändligt / oändligt? Det skulle ju vara trevligt att kunna endast kolla på avbildningsmatrisen för att se om antalet lösningar är entydigt, oändligt eller icke-existerande.

Stort tack till den som tar min fråga på allvar! :)

Om determinanten är 0 betyder det att det antingen finns 0 eller oändligt antal lösningar, men du kan inte veta vilket utan att undersöka högerledet.

Lite mer specifikt varför: Om determinanten är 0 betyder det att matrisen inte är inverterbar. Om du skulle börja utföra Gauss-elimination skulle du få en eller flera rader med endast 0, och du kommer alltså landa i en av de två situationer du beskriver ovan. Vilken du landar i beror på hur högerledet ser ut.

Man kan se frågan som:

Vi har tre stycken vektorer, (0,1,2); (2,2,2); och (-3,-1,1). Vi bildar oss en linjärkombination av dessa genom att ta

x*(0,1,2)+y*(2,2,2)+w*(-3,-1,1)

Finns det några sätt att göra detta på för att bilda vektorn (-1,1,2)?

Eftersom att du konstaterat att matrisen saknar invers så kan man inte nå hela R³-rummet genom linjärkombinationen, vilket gör att vi endast kan nå ett underrum, vilket borde motsvara ett tvådimensionellt plan. Om (-1,1,2) är utanför underrummet så saknas lösning. Om (-1,1,2) är i underrummet så finns oändligt med lösningar, eftersom vi kan bilda nollvektorn i linjärkombination av våra tre kolonnvektorer, ta denna kombination gånger godtycklig siffra och det fortfarande är nollvektorn, och till detta lägga en linjärkombination av våra kolonnvektor som faktiskt bildar (-1,1,2).

Att undersöka om (-1,1,2) ligger i underrummet kan man dessvärre inte göra genom att bara titta på determinanten, det beror på vektorn i fråga. Nollvektorn ligger till exempel i alla avbildningsmatrisers underrum, oberoende av deras determinanter.

Det kvadratiska ekvationssystemet $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ är ett homogent system.

Det kvadratiska ekvationssystemet $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ , där $\mathbf{b}\neq 0$ är ett inhomogent system.

Det homogena systemet har alltid den triviala lösningen $\mathbf{x}=0$

Vi har därför fyra fall

Homogent system och $\det A=0$ ger oändligt många lösningar.
Homogent system och $\det A\neq0$ ger endast den triviala lösningen $\mathbf{x}=0$ .
Inhomogent system och $\det A =0$ ger ingen lösning ELLER oändligt många lösningar.
Inhomogent system och $\det A\neq 0$ ger entydig lösning.

Svara

Visa senaste svar