Konvertera Explicit Euler lösning till Implicit Euler (med fixpunktsmetoden)

Hej!

Du har alltså differentialekvationen för ledarbilen

    $x_{M}'(t) = g(x_{M}(t))$

och differentialekvationerna för de $M-1$ stycken efterföljande bilarna

    $x_{i}'(t) = f(x_{i+1}(t)-x_{i}(t))$.

Jag skriver bara om ledarbilen och överlåter till dig att tillämpa det jag skriver på de efterföljande bilarna.

Eulers bakåtmetod tillämpad på ledarbilen ger talföljden $(x_{M}^{k})$ där

    $\displaystyle\frac{x_{M}^{k+1}-x_{M}^{k}}{h} = g(x_{M}^{k+1}) \iff x_{M}^{k+1} = x_{M}^{k} + h \cdot g(x_{M}^{k+1})$

och $x_M^{k} \approx x_M(t_{k})$.

Givet $x_{M}^{k}$ ska man alltså lösa den icke-linjära ekvationen

    $y = x_{M}^{k}+h \cdot g(y)$

för att finna $x_{M}^{k+1}$.

Definiera därför funktionen $G(u) = x_{M}^{k}+h \cdot g(u)$ så att du ska lösa ekvationen

    $y = G(y)$;

som du ser är $y$ en fixpunkt till funktionen $G$. Skapa en fixpunktsiteration

    $y_{i+1} = G(y_{i})$

och använd förslagsvis startvärdet $y_{0} = x_{M}^{k}.$ Kontrollera att funktionen $G$ verkligen är en kontraktionsavbildning så att du är försäkrad om att fixpunktsiterationen konvergerar; du kanske även måste formulera om fixpunktsiterationen för att snabba på konvergenshastigheten om talföljden $(y_{i})$ verkar konvergera alltför långsamt (snabb konvergens är viktig eftersom du måste köra om fixpunktsiterationen för att finna ledarbilens nästa position $x_{M}^{k+2}$).

En kommentar om din fixpunktskod:

Det är onödigt att spara successiva iterationer i en vektor (x); jag föreslår istället att du har ett enda tal som du uppdaterar vid varje iteration ända tills önskad noggrannhet nåtts och att du även håller koll på antalet iterationer, så att koden stoppar om den har varit igång för länge utan att önskad noggrannhet erhållits.

Förslagsvis kan koden ge output "Konvergens har ej nåtts efter N iterationer", där N är specificerat av användaren i förväg (exempelvis N = 100) om detta inträffar; i annat fall blir output en approximation till den sökta fixpunkten. (Man kan även tänka sig att output inkluderar texten "Konvergens har nåtts efter k iterationer" där k är index för den iteration efter vilken önskad noggrannhet uppnåtts. 

Input till proceduren FixPunktIter är funktionen g, startvärde x0, önskad noggrannhet och Maximalt antal tillåtna iterationer (N). 

Albiki skrev:

Hej!

Du har alltså differentialekvationen för ledarbilen

    $x_{M}'(t) = g(x_{M}(t))$

och differentialekvationerna för de $M-1$ stycken efterföljande bilarna

    $x_{i}'(t) = f(x_{i+1}(t)-x_{i}(t))$.

Jag skriver bara om ledarbilen och överlåter till dig att tillämpa det jag skriver på de efterföljande bilarna.

Eulers bakåtmetod tillämpad på ledarbilen ger talföljden $(x_{M}^{k})$ där

    $\displaystyle\frac{x_{M}^{k+1}-x_{M}^{k}}{h} = g(x_{M}^{k+1}) \iff x_{M}^{k+1} = x_{M}^{k} + h \cdot g(x_{M}^{k+1})$

och $x_M^{k} \approx x_M(t_{k})$.

Givet $x_{M}^{k}$ ska man alltså lösa den icke-linjära ekvationen

    $y = x_{M}^{k}+h \cdot g(y)$

för att finna $x_{M}^{k+1}$.

Definiera därför funktionen $G(u) = x_{M}^{k}+h \cdot g(u)$ så att du ska lösa ekvationen

    $y = G(y)$;

som du ser är $y$ en fixpunkt till funktionen $G$. Skapa en fixpunktsiteration

    $y_{i+1} = G(y_{i})$

och använd förslagsvis startvärdet $y_{0} = x_{M}^{k}.$ Kontrollera att funktionen $G$ verkligen är en kontraktionsavbildning så att du är försäkrad om att fixpunktsiterationen konvergerar; du kanske även måste formulera om fixpunktsiterationen för att snabba på konvergenshastigheten om talföljden $(y_{i})$ verkar konvergera alltför långsamt (snabb konvergens är viktig eftersom du måste köra om fixpunktsiterationen för att finna ledarbilens nästa position $x_{M}^{k+2}$).

Tja, vi har lite problem med att förstå hur vi ska översätta detta till kod. Skulle du kunna ge något exempel? 

Detta har vi förstått:

 Vi vill ha en approximativ position för varje bil i ett visst ögonblick så y=G(y) där tex för bil M G(u)= x(t,M)+h*g. Alltså söker vi ett u (dvs en position) så att u=G(u). Det löser vi genom att loopa igenom en FPI med y_i+1=G(y_i) med ett begynnelsevillkor y_0= x(1,M)=750. Då blir exempelvis y_2=G(y_1)= 750 +h*5.