konvergerar

Hej, kan någon hjälpa mig att lösa följande uppgift:

Låt D vara $0 \leq y \leq 1 - x$ $0 \leq x \leq 1$

För vilka reella a konvergerar

$\iint_{D} \frac{1}{(x + y)^{a}} d x d y$

Jag ser i boken att nästa steg är att få $(\frac{1}{1 - a}) (1 - x^{1 - a})$

jag tror att det är derivatan men jag är inte riktigt säker på hur dom fått fram det.

Sedan sker koordinatbyte

$(u = x + y) (v = x)$

E= (u,v): $v \leq u \leq 1, 0 \leq v \leq 1$

Dubbelintegralen blir då

$\iint_{E} \frac{1}{u^{a}} d u d v = \int_{v = 0}^{1} (\int_{u = v}^{1} \frac{1}{u^{a}} d u) d v$

sedan vet jag inte riktigt hur man ska gå till väga.

Först bör man fråga sej varför inte integralen skulle konvergera. Området är ju ändligt men just i origo blir det noll i nämnaren. Ju större a, desto snabbare går nämnaren mot noll, desto större blir integranden och desto otroligare att den skulle bli ändlig.

Koordinatbytet gör man för att få lite enklare räkningar, men det hade gått lika bra utan den. Kan du integrera 1/u^a?

om vi integrerar 1/u^a får vi väl $\frac{u^{1 - a}}{1 - a}$ +C

Vad händer om $a = 1$ ?

om a=1 får vi ju 0 i nämnaren

Fast gäller formeln för detta fall?

nej det tror jag inte eftersom vi då får noll i nämnaren.

Sedan gick uppgiften även ut på att rita upp integrationsområdet för att motivera integrationsgränserna för u och v, där vet jag inte riktigt hur jag ska gå till väga

Området är ju en triangel i xy-planet med hörnen i (0,0), (1,0) och (0,1). Det är bara att översätta till tre punkter i uv-planet.

Svara

Visa senaste svar