Konvergerar dubbelintegralen?

Jag ska ta reda på om dubbelintegralen $\int \int_{R^{2}} \frac{2 + \cos (x^{2} + y^{2})}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} d x d y$ konvergerar. Jag testade att göra ett byte till polära koordinater men har inte blivit klokare. Jag fick då fram $\int \int_{R^{2}} \frac{4 + 2 \cos (r)}{1 - \frac{1}{2} r^{2} (\cos (2 θ) - 3)} r d r d θ$ . Dehär förvirrar mig snarare mer. Någon som har någon idé hur jag ska göra? finns det något annat variablebyte eller ska jag jämföra med något känt uttryck som divergerar/konvergerar??

Cosinusfunktionen är uppåt begränsad (av den konstanta funktionen 1) och ett elliptisk-polärt variabelbyte kanske kan ge dig en ändlig dubbelintegral. (Jag har inte beräknat detta själv, utan fabulerar fritt.)

Då graden i nämnaren är densamma som graden på dimensionen så ska man anta att integralen divergerar. Vi visar detta genom att hitta en integral vi vet är mindre som vi lättare kan ta reda på divergerar. till exempel $\frac{1}{2 + 2 x^{2} + 2 y^{2}} \leq \frac{2 + \cos (x^{2} + y^{2})}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$ . Beräknar vi den vänstra integralen över $R^{2}$ får vi att den divergerar och således enligt jämförelsekriterium även integralen i vår fråga.

Svara