Konvergerande integral

Börja med att undersöka

${\int }_0^1\frac{e^{-x}\cos \left(x\right)}{\sqrt{x(1+x)}}dx\le {\int }_0^1\frac{e^0\cos \left(0\right)}{\sqrt{x(1+0)}}dx={\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx$

Så är får vi att den är konvergent.

Kan du sedan hitta begränsningar på

${\int }_1^{\infty }\frac{e^{-x}\cos \left(x\right)}{\sqrt{x(1 + x)}}dx$

?

Notera att det räcker med att se att $\cos(x)/\sqrt{x(1 + x)}$ är begränsad på intervallet [1, inf).

Termen $\cos x$ varierar ju mellan -1 och 1. Rotuttrycket går från $\sqrt{2}$ till oändligheten och $e^{-x}$ går mot noll. Gäller alltså

$\frac{e^{-x}\cos x}{\sqrt{x(1+x)}}\le e^{-x}, x\in [1,\infty )$

Ja det är korrekt att det är mindre än $e^{-x}$, men som du säger $\cos(x)$ varierar mellan -1 och 1. Detta innebär att du måste göra en undre uppskattning också, för att visa att den inte går mot $-\infty$. När du har en positiv integrand så fungerar ju trivialt 0 som en undre uppskattning.

Tack för hjälpen.

En fråga till. Hur kom du fram till att den första integralen var mindre än $\frac{1}{\sqrt{x}}$?

Det största värdet $e^{-x}$ kan anta är 1, det största värdet $\cos(x)$ kan anta är 1 och sedan så är det minsta värdet $(1 + x)$ kan anta är 1. Därför så ersätter jag alla dessa med 1 och får kvar $1/\sqrt{x}$.