Konvergerande / divergerande serier

Jag vill avgöra om följande summa konvergerar eller ej:

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(k!)^{3}}{k^{2 k}}$

Och jag använder mig av dálemberts kvotkriterium och får $\frac{a_{k + 1}}{a_{k}} = (k + 1) (\frac{k}{k + 1})^{2 k}$

denna förenkling var ju möjlig eftersom att k >=1. Men sedan säger facit att följande ekvivalens gäller:

${(\frac{k}{k + 1})}^{2 k} = \frac{1}{{({(1 + \frac{1}{k})}^{k})}^{2}}$

Jag förstår inte hur det kommer sig.

Tack på förhand!

$\frac{1}{{({(1 + \frac{1}{k})}^{k})}^{2}} = \frac{1}{{(1 + \frac{1}{k})}^{2 k}} = \frac{1}{{(\frac{k + 1}{k})}^{2 k}} = {(\frac{1}{\frac{k + 1}{k}})}^{2 k} = {(\frac{k}{k + 1})}^{2 k}$

$\frac{k}{k+1}=\frac{1}{\frac{k+1}{k}}=1+\frac{1}{k}$

Svara