konvergenta integraler

jag vet att man måste hitta en större integral och visa att den är konvergent. Men hur gör jag.

Enligt facit så är den större integral för a) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2} + 1}$ , för b) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}}$ , för c) $2 * \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}}$

och för d) $2 * \int_{0}^{\infty} f (x) = 2 * (\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} + \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2} + 1})$

Hur har de gjort?

Ska du avrunda något uppåt kan du antingen göra täljaren större eller nämnaren mindre.

Sen för att stryka rätt sak är det bra att utgå från en gissning, kolla vad som är intressant och vad som bara är ivägen. Tex nära 0 vet vi att x upphöjt till lägre saker är större, så i b och c kan vi tänka att 1+x2 är ungefär 1, den kommer inte påverka så mkt. Då kan vi avrunda den nedåt till 1,eftersom den är i nämnaren.

Om du har flera generaliserade punkter på en integral får du dela upp den på olika intervall. Testa samma tankesätt på de andra och se vad du kommer fram till kan vara intressant.

Hej,

Om $|x|\geq1$ så är $\frac{1}{\sqrt{|x|}}\leq 1$ .

Om $|x|\leq1$ så är $\frac{1}{1+x^2}\geq \frac{|x|}{1+x^2}.$

Micimacko skrev:
Ska du avrunda något uppåt kan du antingen göra täljaren större eller nämnaren mindre.

ok så på a) för att hitta den större funktionen så måste jag göra nämnaren mindre. Det kan jag göra genom att strycka bort antingen $\sqrt{x}$ eller $x^{2} + 1$

Så jag kan testa beräkna integralenrna $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} o c h \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2} + 1}$ Sen se vilken av de som ger ett större konvergent svar. Den funktionen som har ett större konvergent svar är den funktionen som man ska välja.

På b) gör man på samma sätt.

Stämmer det?

Du kan välja vilken som helst av dem, och om någon är konvergent så är din integral konvergent, eftersom den är mindre än båda de nya.

Men oftast är uppgiften skapad så att bara en av dem är konvergent, och visst kan man testa båda, det är inte fel, men redan nästa sats i boken kommer bygga på att du kan avgöra vilken som beter sig mest likt ursprungsfunktionen så försök gissa på en gång vad som dominerar i den generaliserade punkten.

Micimacko skrev:
Du kan välja vilken som helst av dem, och om någon är konvergent så är din integral konvergent, eftersom den är mindre än båda de nya.
Men oftast är uppgiften skapad så att bara en av dem är konvergent, och visst kan man testa båda, det är inte fel, men redan nästa sats i boken kommer bygga på att du kan avgöra vilken som beter sig mest likt ursprungsfunktionen så försök gissa på en gång vad som dominerar i den generaliserade punkten.

Jag förstår men jag har lite svårighet att komma på den dominerande termen

I oo så dominerar x ^ höga siffror.

I 0 dominerar x^ låga siffror.

a^x är oftast mer intressant än x^b som är mer intressant än ln x. De tumreglerna brukar räcka ganska långt.

Svara

Visa senaste svar