Konvergent talföljd

Undrar om jag tänkt rätt i följande uppgift

Talföljden ${(a_{n})}_{n = 1}^{\infty}$ är definierad genom

$a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + \frac{1}{2} \sqrt{1 - a_{n}^{2}}, 0 \leq a_{1} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

Undersök om följden är konvergent. Om så bestäm dess gränsvärde.

En talföljd är konvergent om och endast om den har ett gränsvärde, eller hur? Så om jag hittar ett sådant gränsvärde, så är talföljden konvergent.

Enligt en sats så gäller

$\lim_{n \to \infty} a_{n + 1} = a = \lim_{n \to \infty} f (a_{n}) = f (\lim_{n \to \infty} a_{n}) = f (a)$

$a = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} \sqrt{1 - a^{2}} \Leftrightarrow a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Eftersom vi enbart undersöker reella tal måste

$1 - a_{n}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq a_{n} \leq 1$

Men eftersom $a_{1} \geq 0$ kan $a_{n}$ inte vara negativt. Därför måste gränsvärdet vara $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Är detta korrekt?

Hej!

Om talföljden har ett gränsvärde ( $a$ ) så ska det uppfylla ekvationen

$a = \sqrt{1-a^2}.$

Det medför att talet $a \in [0,1].$ Som du noterat är $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ det enda tal som uppfyller dessa krav. Alltså, om följden har ett gränsvärde så måste det vara $\frac{1}{\sqrt{2}}.$ Frågan är om talföljden faktiskt har ett gränsvärde?

Är talföljden en Cauchyföljd?

Albiki

Vi har inte gått igenom Cauchyföljder ännu...

Du behöver kolla om det är en Cauchyföljd för att kunna avgöra om följden har ett gränsvärde. I uträkningen har vi utgått från att gränsvärdet existerar.

Svara

Visa senaste svar