Konvergent summa hitta kvot
Hej, jag håller på med en uppgift där jag ska visa att en serie är konvergent. Nedan infogar jag bild på frågan samt min lösning. Jag får en divergent summa (kvoten 10/9) men ser inte var jag gör fel. Jag misstänker att det har att göra med de små trianglarna som sitter på den stora triangeln i figur A2. Det finns ingen information om dessa är lika stora som trianglarna som jag har benämnt som T21 och T22. Oavsett har jag testat med det eftersom det står (ledtråd: För att beräkna , beräkna arean av de nya mindre trianglarna samt deras antal). Det kan också ha något med att göra att linjen är borttagen, men jag fattar inte riktigt hur svaret blir annourlunda isåfall.
Jag har även testat på ett annat sätt men det blir helt fel. Ser någon vad jag har missat? Tack på förhand
Jag tror inte det stämmer att höjden på de nya mindre trianglarna är hälften av den föregående. Du upprepar nämligen samma process på fyra linjesegment som alla är 1/3 så långa. Då får du också trianglar vars baser och höjder är 1/3 så stora.
aah okej, då försöker jag med det
men hur blir det med de små trianglarna som dyker upp på den gamla triangeln? Alltså på figuren som ser iut som en stjärna i A2
Alla fyra små nya trianglar i A2 är 1/3 så stora som den i A1. Du upprepar nämligen proceduren i A1 på fyra nya linjesegment, som alla har längd 1/3 istället för 1. Den totala skuggade arean utökas med 4 st sådana små trianglar i steget A2.
I nästa steg, A3, kommer vi få 16 nya trianglar (varför?), alla 1/3 så stora som de i A2, och så vidare.
Om en triangel är 1/3 så stor (dvs alla dessa längddimensioner är 1/3 så stora) kommer arean vara 1/9 så stor (eftersom b/3 * h/3 = bh/9).
Triangeln i A1 har arean A = sqrt(3)/36.
De fyra trianglarna i A2 har därför den totala arean 4(A/9).
Låter det rimligt?
Det låter rimligt! Tack så mycket
