Konvergent serie

Hej!

Serien är

    $1 + (\frac{1}{2})^{\ln 2} + (\frac{1}{3})^{\ln 3} + (\frac{1}{4})^{\ln 4} + (\frac{1}{5})^{\ln 5} + (\frac{1}{6})^{\ln 6} + (\frac{1}{7})^{\ln 7} + (\frac{1}{8})^{\ln 8} + \cdots$

Notera att $\ln 8 > 2$ så termerna därefter bildar en serien som är uppåt begränsad av den konvergenta serien

    $\sum_{k=9}^{\infty}\frac{1}{k^2}.$

Albiki skrev:

Notera att $\ln 8 > 2$ så termerna därefter bildar en serien som är uppåt begränsad av den konvergenta serien

    $\sum_{k=9}^{\infty}\frac{1}{k^2}.$

 Ah, tack! Och om $\sum _{k=9}^{\infty }\frac{1}{k^{\ln k}}$ är konvergent så är även $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{\ln k}}$ konvergent, right?

Matte357 skrev:

Albiki skrev:

Notera att $\ln 8 > 2$ så termerna därefter bildar en serien som är uppåt begränsad av den konvergenta serien

    $\sum_{k=9}^{\infty}\frac{1}{k^2}.$

 Ah, tack! Och om $\sum _{k=9}^{\infty }\frac{1}{k^{\ln k}}$ är konvergent så är även $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{\ln k}}$ konvergent, right?

 Det var därför jag skrev ut så många termer i serien för att kunna visa upp situationen då $k=8$; skillnaden mellan de två serierna du nämner är ju en serie med ändligt många termer ( för k=1 till k=8) och en sådan påverkar inte frågan om konvergens.