Konvergent integral

T.ex i $\frac{\sin {\left(x\right)}^2}{x}$ är det samma tankesätt som när sin²(x) kan approximeras till x² och därför är gränsvärdet 0 när x-->0?

itter skrev:

Hej! Hade en fundering om man kunde tänka på följande sätt till denna uppgiften: Bestäm om  ${\int }_0^1\frac{x}{2x\sqrt{x}+\sin {\left(x\right)}^2}dx$är konvergent eller divergent. Jag undrade om det går att lösa genom att tänka att 3sin(x)^2 kommer bli (enligt taylorutveckling för x nära 0) 3x^2. Och sen bestämma utifrån det att integralen är 1/3x som är konvergent och då är den ursprungliga integralen också konvergent. Kan man tänka så?

Du kan uppskatta den lite enklare än så.

Integranden är positiv på [0,1] så integralen är positiv.

Då sin^2(x)≥0 på [0,1] har vi att integranden majoreras av x/(2xsqrt(x))=1/(2sqrt(x)) varför

0 ≤ Ursprungsintegral ≤ INT_0^1 1/(2sqrt(x)) dx = [ sqrt(x) ]_0^1 = 1

varför integralen är konvergent.

Det numeriska värdet på ursprungsintegralen är 0.824349.

Men kan man göra så jag tänkte? Tror jag är lite förvirrad av när x går mot 0 i gränsvärden. T.ex jag förstår inte varför x^2 + sin(3x)/x^2 saknar gränsvärde. Kan man inte tänka att sin3x ungefär är 3x när x är nära 0??