Konvergent integral
Hur ska jag tänka när jag tar mig an dessa typer av uppgifter? Jag började med att skriva upp men det tar mig ingenstans. I lösningsförslaget delar man upp integralen i två delar där ena går från 2 till 3 och andra från 3 till oändligheten, men det står inte varför man gör så.
Jag har bara en fundering, ingen färdig lösning.
1. Först, om vi går från 3 till oändligheten så vet vi att integralen 1/xc konvergerar om c > 1 och divergerar om c ≤ 1. Det verkar alltså intressant att studera den givna integralen när nämnaren har gradtalet 3 eller större.
Jag skulle dela täljare och nämnare med x2: (1+1/x2) / [(x–2)pxq+2].
Termen 1/x2 i täljaren vållar nog inga problem, men vi får ha litet koll på den.
2. Sedan vet vi att integralen från 2 till 3 av 1/(x–2)c divergerar om c < 1 och konvergerar om c ≤ 1. Men här spelar faktorn xq i nämnaren ingen roll, den håller sig snällt på mattan, utan det intressanta är när p är 3 eller mindre.
Detta var bara en antydan till strategi, jag har inte trängt in i djungeln.
Anledningen till att vi delar upp integralen är för att den är generaliserad på 2 ställen, i x=2 för att du får delat på noll, så funktionen går mot oändligheten, och för att en oändlig gräns alltid gör integralen generaliserad. Man räknar aldrig ut en integral som är generaliserad på flera ställen samtidigt. Var man delar spelar ingen roll, men 3 är ett trevligt val eftersom det gör (x-2) större än 1, och det tillåter oss att bara stryka den om vi vill uppskatta funktionen med en större funktion.
Om vi först tittar på när det blir konvergent mot 2 så ser vi att x^2 och x^q håller sig borta från både 0 och oändligheten, så de kommer inte påverka. Vi vill alltså att p<1 för att få konvergens i 2. Jämför med 1/x^a, som är konvergent i 0 om a<1.
Då har vi oändligheten kvar, och där kommer alla x spela roll. Vi vill att nämnaren ska vara minst en grad högre än täljaren, jämför med 1/x^a där integralen är konvergent mot oändl. om a>1. Det kan vi skriva som p+q>3.
