Konvergent eller divergent integral (envariabelanalys)

Om du bara stryker $x^5$, vad händer då?

Laguna skrev:

Om du bara stryker $x^5$, vad händer då?

Jag tänkte på det, och då får jag $\frac{1}{{\left(x^6\right)}^{1/3}}=\frac{1}{x^2}$? 

Får man verkligen göra så? För tror det är i det här jag är lite tveksam gällande större/mindre funktioner...

Och är den större eller mindre än den ursprungliga integranden?
EDIT: Satte in något värde på x och fick ut att den är större. 

Mjausa skrev:

Laguna skrev:

Om du bara stryker $x^5$, vad händer då?

Jag tänkte på det, och då får jag $\frac{1}{{\left(x^6\right)}^{1/3}}=\frac{1}{x^2}$? 

Får man verkligen göra så? För tror det är i det här jag är lite tveksam gällande större/mindre funktioner...

Och är den större eller mindre än den ursprungliga integranden?
EDIT: Satte in något värde på x och fick ut att den är större. 

Det räcker inte att den är större för ett värde på $x$, utan den måste vara större för alla $x\in\left(1,+\infty\right)$. Är du med på det?

Kan du då motivera varför $\dfrac{1}{\left(x^6\right)^{1/3}}>\dfrac{1}{\left(x^6+x^5\right)^{1/3}}$? Kom ihåg att ditt integrationsområde $\left(1,+\infty\right)$ är viktig att tänka på när du jämför integrander (eftersom du gör det inom ditt integrationsområde)

Moffen skrev:

Mjausa skrev:

Visa föregående citat

Laguna skrev:

Om du bara stryker $x^5$, vad händer då?

Jag tänkte på det, och då får jag $\frac{1}{{\left(x^6\right)}^{1/3}}=\frac{1}{x^2}$? 

Får man verkligen göra så? För tror det är i det här jag är lite tveksam gällande större/mindre funktioner...

Och är den större eller mindre än den ursprungliga integranden?
EDIT: Satte in något värde på x och fick ut att den är större. 

Det räcker inte att den är större för ett värde på $x$, utan den måste vara större för alla $x\in\left(1,+\infty\right)$. Är du med på det?

Kan du då motivera varför $\dfrac{1}{\left(x^6\right)^{1/3}}>\dfrac{1}{\left(x^6+x^5\right)^{1/3}}$? Kom ihåg att ditt integrationsområde $\left(1,+\infty\right)$ är viktig att tänka på när du jämför integrander (eftersom du gör det inom ditt integrationsområde)

Kan jag visa det genom att använda mig av gränsvärde kanske? För jag är helt med på att det måste gälla för alla x på intervallet, men är lite osäker på hur det ska visas.

Jag vet dock inte riktigt hur jag skulle visa det med gränsvärde utan att behöva beräkna en del av integralen... 

Jag insåg just att man kan ju kanske använda sig av gränsvärdet när x går mot 1. Hade helt snöat in mig på att använda när x går mot oändligheten, eftersom att det är övre gränsen. 

Men jag vet inte var gränsen går för att inte beräkna integralen. 

Jag har suttit och funderat lite på hur jag ska veta att $\frac{1}{x^2}$ verkligen är större än integranden, och kom och kom och tänka på att det borde väl vara rätt intuitivt egentligen att en nämnare med fler termer blir större än en nämnare med färre?

EDIT: Förtydligande vad jag menar ${\left(x^6\right)}^{1/3}=x^2<{\left(x^6+x^5\right)}^{1/3}$
Vilket leder till att olikheten $\frac{1}{{\left(x^6\right)}^{1/3}}>\frac{1}{{\left(x^6+x^5\right)}^{1/3}}$ borde stämma?

Tänker jag helt fel nu eller borde det inte vara så?

För den enda gången det inte skulle stämma är väl om värdet på x skulle vara negativt, för då blir ju x^5 negativ vilket leder till att integranden skulle bli större istället.

Så då borde förklaringen vara att olikheten gäller för alla positiva $x\ge 1$? 

Ja men precis, $x^5$ är ett positivt tal då $x>0$ och eftersom $x\in\left(1,+\infty\right)$ så är ju inte det några problem. Vi får då alltså precis som du säger att $\left(x^6\right)^{1/3}<\left(x^6+x^5\right)^{1>$ (då $x^{1/3}$ är monoton och ökande på intervallet $\left(1,+\infty\right)$).

Sen är det bara att invertera som du gjort och då får vi helt enkelt att $\dfrac{1}{\left(x^6\right)^{1/3}}>\dfrac{1}{\left(x^6+x^5\right)^{1/3}}$.

Moffen skrev:

Ja men precis, $x^5$ är ett positivt tal då $x>0$ och eftersom $x\in\left(1,+\infty\right)$ så är ju inte det några problem. Vi får då alltså precis som du säger att $\left(x^6\right)^{1/3}<\left(x^6+x^5\right)^{1></\left(x^6+x^5\right)^{1>$ (då $x^{1/3}$ är monoton och ökande på intervallet $\left(1,+\infty\right)$).

Sen är det bara att invertera som du gjort och då får vi helt enkelt att $\dfrac{1}{\left(x^6\right)^{1/3}}>\dfrac{1}{\left(x^6+x^5\right)^{1/3}}$.

Ah, tack! Tog ett litet tag för mig att klura ut det, men när jag gick "back to basics" så löste det ju sig, det är ju oftast inte svårare än så. :) 

Så av detta kan jag ju använda dessa för jämförelsekriterium, och således se att den större integralen är konvergent (eftersom p>1) vilket betyder att vår mindre integral (den ursprungliga) också måste vara konvergent. 

(Ooops: ser nu att jag blandade ihop kriterierna för konvergent och divergent i mitt ursprungliga inlägg... hehe)

Ja, om du vill kan du till och med beräkna en övre gräns i det här fallet.

$\displaystyle \int_1^{\infty}\frac{dx}{\left(x^6+x^5\right)^{1/3}}<\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^2}=\lim_{a\to\infty}\left(-\frac{1}{a}-\left(-\frac{1}{1}\right)\right)$. 

Tack för hjälpen! 
Jag tittade faktiskt på den gränsen tidigare men känner inte riktigt att det behövs eftersom jag redan tagit reda på det som uppgiften efterfrågar :)