Konvergent eller divergent?

Man får använda sin fantasi lite. Ett heltal n kan skrivas (och skrivs normalt) i tiosystemet, t.ex. 34591. Jag vet inte om jag skulle säga "decimalutveckling" men det är det som menas. Decimal brukar betyda det som står efter kommat, vilket är vad du tänker på, men det syftar också allmänt på tiosystemet.

Decimalutvecklingen betyder sifferrepresentationen i bas 10.

Så när n = 13 så innehåller inte decimalrepresentationen någon 9:a och $a_{13} = 1$

Men när n = 19 då finns en 9:a och  $a_{19} = 0$ (edit: skrev 1 här men såklart 0)

De flesta av $a_n$-elementen är alltså 1 förutom när n är något av 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 109, 119,... osv då elementet är 0.

Serien är samma sak som den harmoniska serien minus alla termer där nämnaren innehåller siffran 9. Seriens partialsummor  ($s_n$) är alltså mindre än partialsummorna ($h_n$) hos den divergenta harmoniska serien och det är intressant att undersöka om de är tillräckligt mycket mindre för att den giva serien ska vara konvergent.

På liknande sätt som man kan avgöra den harmoniska seriens konvergens genom att jämföra med en förenklad variant av serien kan vi även bestämma konvergensen hos denna serie.

Serien kan skrivas:

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+...\frac{1}{88}+\frac{1}{100}+...$

Vi försöker hitta en förenklad serie att jämföra med genom att använda oss av enbart tiopotenser. Vi ser att alla termer mellan $1$ och $\frac{1}{8}$ är mindre än eller lika med ett, alla termer mellan $\frac{1}{10}$ och $\frac{1}{88}$ är mindre än eller lika med en tiondel o.s.v.

Vi får alltså olikheten:

$\displaystyle\ \ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+...+\frac{1}{88}+\frac{1}{100}+\frac{1}{101}+\frac{1}{102}...$

$\displaystyle<>$

Skulle vi nu kunna visa att den nedre serien är konvergent medför det att även den övre är det. Har du ett hum om hur man gör det?

SeriousCephalopod skrev:

Decimalutvecklingen betyder sifferrepresentationen i bas 10.

Så när n = 13 så innehåller inte decimalrepresentationen någon 9:a och $a_{13} = 1$

Men när n = 19 då finns en 9:a och  $a_{19} = 0$ (edit: skrev 1 här men såklart 0)

De flesta av $a_n$-elementen är alltså 1 förutom när n är något av 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 109, 119,... osv då elementet är 0.

Men $a_n$ är väl 0 även då $n\in [90,99], n\in [190,199]$ osv?

AlvinB skrev:

På liknande sätt som man kan avgöra den harmoniska seriens konvergens genom att jämföra med en förenklad variant av serien kan vi även bestämma konvergensen hos denna serie.

Serien kan skrivas:

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+...\frac{1}{88}+\frac{1}{100}+...$

Vi försöker hitta en förenklad serie att jämföra med genom att använda oss av enbart tiopotenser. Vi ser att alla termer mellan $1$ och $\frac{1}{8}$ är mindre än eller lika med ett, alla termer mellan $\frac{1}{10}$ och $\frac{1}{88}$ är mindre än eller lika med en tiondel o.s.v.

Vi får alltså olikheten:

$\displaystyle\ \ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+...+\frac{1}{88}+\frac{1}{100}+\frac{1}{101}+\frac{1}{102}...$

$\displaystyle<>$

Skulle vi nu kunna visa att den nedre serien är konvergent medför det att även den övre är det. Har du ett hum om hur man gör det?

 Ja, vi kommer ju få flertalet summor av typen $\sum _{k=N}^{\infty }\frac{1}{{10}^k}$, vilket är en konvergent serie. Eftersom summan av flera konvergenta serier är konvergent blir även den sökta summan konvergent. Right?

Det blir väl typ $8\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{{10}^k}+ 72\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{{10}^k}+...$

Matte357 skrev:

AlvinB skrev:

På liknande sätt som man kan avgöra den harmoniska seriens konvergens genom att jämföra med en förenklad variant av serien kan vi även bestämma konvergensen hos denna serie.

Serien kan skrivas:

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+...\frac{1}{88}+\frac{1}{100}+...$

Vi försöker hitta en förenklad serie att jämföra med genom att använda oss av enbart tiopotenser. Vi ser att alla termer mellan $1$ och $\frac{1}{8}$ är mindre än eller lika med ett, alla termer mellan $\frac{1}{10}$ och $\frac{1}{88}$ är mindre än eller lika med en tiondel o.s.v.

Vi får alltså olikheten:

$\displaystyle\ \ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+...+\frac{1}{88}+\frac{1}{100}+\frac{1}{101}+\frac{1}{102}...$

$\displaystyle$

Skulle vi nu kunna visa att den nedre serien är konvergent medför det att även den övre är det. Har du ett hum om hur man gör det?

 Ja, vi kommer ju få flertalet summor av typen $\sum _{k=N}^{\infty }\frac{1}{{10}^k}$, vilket är en konvergent serie. Eftersom summan av flera konvergenta serier är konvergent blir även den sökta summan konvergent. Right?

 Du tänker någorlunda rätt; om vi kan visa att den nedre summan konvergerar följer det direkt att även den övre summan (d.v.s. summan vi söker) konvergerar.

Däremot är det lite klurigare att bestämma den nedre summan än vad du tänker. Det är ju så att vi har $8$ stycken $10^0$-termer, $72$ stycken $10^{-1}$-termer, $648$ stycken $10^{-2}$-termer o.s.v. Det gäller att hitta ett sätt att skriva ihop dessa till en serie med sigmanotation och sedan beräkna den.

AlvinB skrev:

Matte357 skrev:

Visa föregående citat

AlvinB skrev:

På liknande sätt som man kan avgöra den harmoniska seriens konvergens genom att jämföra med en förenklad variant av serien kan vi även bestämma konvergensen hos denna serie.

Serien kan skrivas:

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+...\frac{1}{88}+\frac{1}{100}+...$

Vi försöker hitta en förenklad serie att jämföra med genom att använda oss av enbart tiopotenser. Vi ser att alla termer mellan $1$ och $\frac{1}{8}$ är mindre än eller lika med ett, alla termer mellan $\frac{1}{10}$ och $\frac{1}{88}$ är mindre än eller lika med en tiondel o.s.v.

Vi får alltså olikheten:

$\displaystyle\ \ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+...+\frac{1}{88}+\frac{1}{100}+\frac{1}{101}+\frac{1}{102}...$

$\displaystyle$

Skulle vi nu kunna visa att den nedre serien är konvergent medför det att även den övre är det. Har du ett hum om hur man gör det?

 Ja, vi kommer ju få flertalet summor av typen $\sum _{k=N}^{\infty }\frac{1}{{10}^k}$, vilket är en konvergent serie. Eftersom summan av flera konvergenta serier är konvergent blir även den sökta summan konvergent. Right?

 Du tänker någorlunda rätt; om vi kan visa att den nedre summan konvergerar följer det direkt att även den övre summan (d.v.s. summan vi söker) konvergerar.

Däremot är det lite klurigare att bestämma den nedre summan än vad du tänker. Det är ju så att vi har $8$ stycken $10^0$-termer, $72$ stycken $10^{-1}$-termer, $648$ stycken $10^{-2}$-termer o.s.v. Det gäller att hitta ett sätt att skriva ihop dessa till en serie med sigmanotation och sedan beräkna den.

 $\sum _{k=0}^n\frac{8·9^k}{{10}^k}=\frac{8·(1-0.9^n)}{1-0.9}\to 80, n \to \infty$. Alltså konvergent?

Just det, bra jobbat!

Eftersom det finns $8\cdot9^k$ stycken $10^{-k}$-termer kan man beskriva problemet med en geometrisk summa precis som du gjort. Eftersom summan konvergerar då $n\to\infty$ konstaterar vi att den ursprungliga summan också konvergerar.